4. Penggunaan Residu dalam Integral Kompleks
Apabila lintasan tertutup 퐶 di dalam daerah 퐷 memuat satu
atau lebih titik singular (pole), maka integral sepanjang lintasan
tertutup 퐶 dapat ditentukan menggunakan teorema berikut.
Teorema
Residu Cauchy
Jika 푓 analitik di dalam dan pada lintasan tertutup 퐶 yang berarah
positif kecuali di titik singular terasing 푧
1
,푧
2
,푧
3
,...,푧
푛
maka
∮푓(푧)푑푧
푐
= 2 휋푖×∑푅푒푠
푧=푧
푗
푓(푧)
푛
푗=
Tentukan pole yang berpengaruh terhadap inetgral tersebut
adalah pole yang berada di dalam atau pada kurva 퐶. Kurva 퐶 yang
dibahas di sini adalah kurva tertutup dengan arah pergerakan
berlawanan arah jarum jam. jadi, jika ternyata kurva yang diketahui
searah dengan jarum jam, maka tinggal diberi tanda negatif saja
pada ruas kanan dari rumus diatas.
Contoh
Hitunglah integral berikut dengan menggunakan residu.
1)
∮
tan휋푧 푑푧
푐
dengan 퐶∶|푧|= 1 kurva 퐶 berlawanan dengan arah
jarum jam.
2)
∮
푒
푧
+푧
푧
3
−푧
푐
푑푧 dengan 퐶∶|푧|=
1
2
휋 kurva 퐶 berlawanan dengan arah
jarum jam.
3) ∮
2 푧
3
+푧
2
+ 4
푧
4
+ 4 푧
2
푐
푑푧 dengan 퐶∶
|
푧− 2
|
= 4 searah jarum jam.
Penyelesaian:
1)
∮
tan휋푧 푑푧
푐
dengan 퐶∶|푧|= 1
tan휋푧=
sin휋푧
cos휋푧
dengan 푧
0
=±
1
2
. 푧
0
=
1
2
,푧
0
=−
1
2
adalah pole yang berorde 1,
sehingga:
푝(푧)=sin휋푧 dan 푞(푧)=cos휋푧 푞
′
(푧)=−휋sin휋푧
푅푒푠
푧=푧
0
푓(푧)=푅푒푠
푧=푧
0
푝(푧)
푞(푧)
=
푝(푧)
푞′(푧)
