푅푒푠
푧=
1
2
sin휋푧
cos휋푧
=푅푒푠
푧=
1
2
sin휋(
1
2
)
−π sin휋(
1
2
)
=−
1
휋
푅푒푠
푧=−
1
2
sin휋푧
cos휋푧
=푅푒푠
푧=−
1
2
sin휋(−
1
2
)
−π sin휋(−
1
2
)
=−
1
휋
Jika semua residu dari pole yang berada di dalam atau pada
kurva 퐶 telah dihitung, maka tinggal menggunakan rumus residu
Cauchy seperti berikut:
∮푓
(
푧
)
푑푧
푐
= 2 휋푖×∑푅푒푠
푧=푧
푗
푓
(
푧
)
푛
푗=
∮tan휋푧푑푧
푐
= 2 휋푖×[(−
1
휋
)+(−
1
휋
)]=− 4 푖
2)
∮
푒
푧
+푧
푧
3
−푧
푐
푑푧 dengan 퐶∶|푧|=
1
2
휋
푒
푧
+푧
푧
3
−푧
=
푒
푧
+푧
푧(푧
2
− 1 )
=
푒
푧
+푧
푧
(
푧+ 1
)
(푧− 1 )
Pole yang dimiliki adalah:
푧
0
= 0 푛= 1 ,푧
0
= 1 푛= 1 , dan 푧
0
=− 1 푛= 1
Ketiga pole di atas masih berada di dalam atau pada kurva 퐶
yang diminta, sehingga:
푝
(
푧
)
=푒
푧
+푧
푞(푧)=푧
3
−푧 푞
′
(푧)= 3 푧
2
− 1
푅푒푠
푧=푧
0
푓(푧)=푅푒푠
푧=푧
0
푝(푧)
푞(푧)
=
푝(푧)
푞′(푧)
푅푒푠
푧= 0
푓
(
푧
)
=푅푒푠
푧= 0
푒
푧
+푧
3 푧
2
− 1
=
푒
0
+ 0
3 ( 0
2
)− 1
=
1
− 1
=− 1
푅푒푠
푧= 1
푓(푧)=푅푒푠
푧= 1
푒
푧
+푧
3 푧
2
− 1
=
푒
1
+ 1
3 ( 1
2
)− 1
=
1 +푒
2
푅푒푠
푧=− 1
푓(푧)=푅푒푠
푧=− 1
푒
푧
+푧
3 푧
2
− 1
=
푒
− 1
+(− 1 )
3 (− 1
2
)− 1
=
− 1 +푒
− 1
2
Sehingga integralnya adalah sebagai berikut:
