Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

TABELAS DE CONTINGÊNCIA-TESTE DE INDEPENDÊNCIA 139

Uma indagação que pode ser objeto de um teste simples é se as variáveis qualitativas

envolvidas são ou não independentes. Ou seja, podemos desejar testar as hipóteses:

H 0 : as variáveis são independentes;

H 1 : as variáveis não são independentes, ou seja, elas apresentam algum grau de associa-

ção entre si.

Tal teste pode ser feito pelo x,2, de maneira semelhante ao visto em 6.2.1, ou seja, pela

quantidade

2 r s (Ou -Eu )^2 r s oj

Xv -Li=I I. J=l E-- -Li=l I. J=l & -n,

y y

sendo:

rl a estatística de teste, com v graus de liberdade;

r o número de linhas do corpo da tabela;

s o número de colunas do corpo da tabela;

Ou a freqüência observada na interseção da linha i com a coluna};

Eu a freqüência esperada na interseção da linha i-com a coluna};

n = I.f= 1 I.J 1 Ou= o número de elementos da amostra.

As freqüências esperadas de cada cela da tabela são calculadas por

(6.6)

(6.7)

onde Pu é a probabilidade de ocorrer uma observação na cela considerada. Ora, havendo

independência entre as variáveis ( conforme H 0 ), temos que

Pg =Pi.· P.J, [^5 l (6.8)

onde Pi. é a probabilidade marginal correspondente à linha i e p J a probabilidade marginal

correspondente à coluna}.

Como não conhecemos as probabilidades marginais, deveremos estimá-las, através

das correspondentes freqüências relativas pf. e PJ· Ora,

~! 1 = J;. e p'. = J1

· n •J n '

:.E·· -nfJ:p • =n~'p'· -nJ;· .JJ _ J;JJ.

(^0 1) · · (^1 1) · •J n n n

(6.9)

Isso nos fornece a regra prática para o cálculo das freqüências esperadas: multiplicar o

total da linha pelo total da coluna e dividir pela freqüência total n, conforme será visto no

exemplo a seguir. A restrição vista em 6.2.1, segundo a qual Eu ~ 5, também deve ser

respeitada aqui. [^61

Quanto ao número de graus de liberdade com que a variável de teste ri, deverá ser

testada, sua determinação pode ser feita verificando-se quantas das freqüências observadas

Ou permanecem "livres" após a determinação das freqüências esperadas. Ora, estas foram

determinadas com base na fixação dos totais marginais. Então, respeitados esses totais, o

número de valores Ou com grau de liberdade será

v = (r-l)(s-1), (6.10)

[^5 l Essa expressão resulta da aplicação direta da definição de variáveis independentes, dada no Ap. 1.

[^61 A esse respeito, ver também a Ref. 20.