Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

196 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

8.5 Induções quanto aos parâmetros da reta

Os mesmos problemas de estimação e testes de hipóteses sobre parâmetros vistos nos Caps.
4 e 5 podem ser considerados no problema da regressão, com referência aos parâmetros a e
/3 da reta teórica. Evidentemente, as conclusões serão baseadas nos valores de a e b
experimentalmente obtidos, que serão estimador ou variável de teste, conforme o caso.
Assim, por exemplo, um caso de muito interesse é o teste das hipóteses

H 0 : /3=0,

H 1 : /3t:-O,

em que a hipótese H 0 é a de não haver regressão. Se H 0 for rejeitada, ficará estatisticamente

provada a existência de regressão, ao nível de significância adotado. Esse teste será estudado

a seguir em sua forma geral.

Não seria muito dificil imaginar que qualquer tentativa de abordar os problemas

mencionados devesse começar pelo estudo das distribuições amostrais de a e b. Isso será

feito, de fato.

Entretanto vamos iniciar a abordagem definindo a variância residual, ou variância

em tomo da reta de mínimos quadrados. Já mencionamos que a idéia do procedimento de

mínimos quadrados é a de minimizar a variação residual em torno da reta obtida. Ora, uma

medida dessa variação é dada pela variância residual, definida por

(8.26)

Vemos que a variância residual é definida semelhantemente à variância de uma amostra

no caso unidimensional, dada pela expressão (2.1 O). Deve-se notar que os Yi dados pela

equação obtida são as estimativas, em função dos Xi, dos valores médios teóricos de Y, da

mesma forma que x era a estimativa de μ no caso unidimensional. Como, para a obtenção

dos J'it necessitamos anteriormente estimar os dois parâmetros a e f3 da reta teórica, a

estatísticas~ terá n - 2 graus de liberdade. Daí se usar n - 2 no denominador de s~. a fim de

conseguir-se uma estimativa justa da variância residual populacional e1i

Neste momento, é oportuno lembrar que, de (8.13) e (8.19), resulta que

(8.27)

Isso permite chegar aos relacionamentos que citamos a seguir, e que são de grande

importância na análise do problema da regressão linear.

a) Se considerarmos a média geraly dos valoresyit e tomarmos as diferenças entre

os valores Yi e Y, teremos

Usando a notação introduzida em (8.5) e lembrando (8.18), teremos, pois,

(8.28)

Note-se que essa soma de quadrados é calculada com base nos desvios da reta de

mínimos quadrados em relação à horizontaly, conforme ilustrado na Fig. 8.13.