Figura 8. 15 - Regiôes de confiança e de previsão202 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
8. 5.1 Intervalos de confiança para a + px' e y' *
Sabemos que a reta obtida por mínimos quadrados é uma estimativa da reta teórica que
admitimos como sendo a função de regressão. Logo, para um dado x' fixado, y' é a estimativa
do correspondente valor que seria dado pela reta teórica, ou seja, a + f3x' = μ( Y I x = x').
Ora, podemos desejar construir um intervalo de confiança para a+ f3x', com base em
sua estimativa}'. Considerado um valor x' que não foi usado para o cálculo da reta, pode-
se mostrar que (1^71
μ(y') =a+ 13,,r',[^1 (x' .x)(^2) ]
cr2(.Y1 =cr2 -+ -.
R n $ .u (8.38)
Logo, podemos construir o intervalo de confiança desejado, o qual será dado por
A 1 (x'-x)^2
Y±tn-2:a/2 ·SR -+---,
n Sxx
(8.39)
ondey' =a+ bx'.
Evidentemente, a amplitude do intervalo assim calculado será mínima para x' = x. Se
fizermos x' variar, os limites superior e inferior dos intervalos de confiança determinados.
pela expressão (8.39) definirão uma região em torno da reta de mínimos quadrados, a qual
chamaremos região de coTJfiança para a + f3x'. Isso significa que temos confiança 1 -a de
que os valores de a+ f3x' estejam contidos nessa região, ou, o que é o mesmo, que a reta
teórica esteja nessa região. As curvas internas mostradas na Fig. 8.15 definem a região de
confiança no exemplo dado.
Por outro lado, podemos desejar determinar um intervalo no qual, com 1 -a de certeza,
possamos prever que o valor experimental de Y, obtido para dado x', venha a estar contido.Ora, o valor experimentaly' a ser previsto ocorrerá em torno de a+ f3x', cuja estimativa
éy'. Como o ponto x' considerado não foi usado para o cálculo da reta, resulta quey' ey'
são independentes. Portanto o desvio que se verificará entre o valor experimentaly' e o
valor calculado y' terá variância dada por
cr^2 (y'-y')=cr\Y)+cr\}1=cr~+cr~ [-+---^1 (x'-i)2] =cr~ [ 1+-+---.^1 (x'-i)2] (8.40)
n Sxx n S.uComoy' é estimativa justa dey', podemos, portanto, prever que, com confiança 1 -a,
o valor experimental de Y estará contido no intervalo
A 1 (x' -i)2
y' ± tn-2 0.12 ·SR 1+ -+ ---
, n Sxx(8.41)Fazendo x' variar, teremos definida a região de previsão para y', definida pelas curvas
externas mostradas na Fig. 8.15.
Muita cautela, entretanto, é necessária quando se pretende usar regressão para estimar
valores médios ou fazer previsões em regiões afastadas daquela em que os pontos
experimentais ocorrem, pois pode haver modificações imprevistas nas condições gerais do
fenômeno, prejudicando a validade dessas inferências.
(t7J A demonstração encontra-se no Ap. 5.