204 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
o intervalo de previsão para y' será, conforme ( 8. 41) ,
2 344 ±2 447 -O 119 1 +1.+ (to-^4 ,^5 )2
' ' ' ·.. 8 42 '
:.2,344±0,396, '
:. P(l, 948 s y' s 2,740) = O, 95,8.6 Regressão polinomial
O mesmo princípio dos mínimos quadrados visto para a regressão linear poderá ser aplicado
se admitirmos que a função de regressão é um polinômio de grau k > 1. A diferença está em
que teremos k + 1 coeficientes a estimar.Tomando as derivadas parciais em relação às k + 1 estimativas, chegamos a um sistema
de k + 1 equações com k + 1 incógnitas o qual, resolvido, fornece a solução do problema.l^18 l
Assim, no caso de admitirmos que a função de regressão seja uma parábola na formay=a+fk+rx^2 , (8.42)
devemos obter a parábola-estimativaYP =a+bx+cx^2 •
O sistema de equações ao qual chegamos é:l
LYi =na+ bixi +cr.xt,
r xi Yi = ar xi + b r xt + e r X(,
L xt Yi = a L xt + b r X( + e r, xj.
(8.43)[19](8.44)Se os valores de xi forem igualmente espaçados, a solução desse sistema ficará bastante
simplificada se trabalharmos com xi-x ao invés dos xi, pois os somatórios de potências
ímpares se anulam. [ZOJ O sistema ficará, então(8.45)Vemos que o coeficiente b do sistema modificado seria obtido diretamente, sendo o
mesmo da reta, e restaria apenas resolver um sistema de duas equações a duas incógnitas
para se determinar a e e. A parábola seria, evidentemente, obtida na formaYP =a+b(x-x)+c(x-i')2. (8.46)[ISJ Uma dificuldade tradicional nesse tipo de problema era a solução do sistema no caso de valores
relativamente grandes de k. Com o aperfeiçoamento dos computadores, essa dificuldade praticamente deixou
de existir. A mesma observação é válida no caso da regressão linear múltipla.
[^191 É fácil perceber que, no caso de um polinômio de grau k, as k + 1 equaçôes do sistema poderiam ser
obtidas multiplicando-se a expressão do polinômio-estimativa por ..t°, x^1 , .r, ... , x'1 e aplicando somatórios.
[^201 Veja a nota de rodapé referente à obtenção das expressões (8.18) e (8.19) no caso da regressão linear
simples.