214 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
ou pela variância residual amostral, conforme definida em (8.26) e reformulada em (8.30),
ou seja,
2 l(y,. -j,. )^2. S.xv - b^2 Sxx
SR = ------------n- 2 = ----n- 2 (8.59)Relembrando a afirmação contida em (3.15), temos que I.(yi-Y)^2 l<J1? e I.(Yi-.Yi)2l0'~
terão distribuições x2 com, respectivamente, n - 1 e n - 2 graus de liberdade.
Por outro lado, temos que I(.Yi-Y)^2 = b^2 Sxx· De (8.35), sabemos que, conhecido O'~,
o teste da hipótese f3 = O seria conduzido com base em
(8.60)
Elevando ao quadrado ambos os membros dessa relação, teremos, no primeiro membro,
um x2 com 1 grau de liberdade (por definição) e, no segundo,
Do exposto, resulta que a relação (8.57), dividida em ambos os membros por O'~,
refere-se a variáveis x2 que satisfazem a propriedade enunciada em 7.1.1. As estimativas
de O'~ obtidas a partir dos termos do segundo membro são, pois, independentes desde que
H 0 seja verdadeira e, portanto, seu quociente
(8.61)
pode ser usado para se testar, pela Análise de Variância, a hipótese H 0 de não haver regressão,
de modo análogo ao visto no Cap. 7. O teste será sempre unilateral, uma vez que, sendo
falsa H 0 , o numerador tenderá a crescer. De fato, sabemos que b^2 Sxx(=bSxy) corresponde à
parcela de variação explicada pela reta de regressão, que será tanto maior quanto mais
significativa a regressão.Do exposto, segue-se que a variável de teste F, conforme definida em (8.61), terá
v 1 = 1 e v 2 = n -2, devendo, pois, ser testada pela comparação com o valor crítico F 1 , n-z, a·
A disposição prática para se realizar a Análise de Variância nesse caso é dada na Tab. 8.8.Que o teste descrito é equivalente ao teste bilateral da hipótese f3 = O através da expressão
(8.35) fica claro do fato de que o Fé o quadrado do tn-z quando f3 = O, e de que, conforme
vimos no item 3.4. 7, a distribuição F 1 ,v equivale à de tt, donde F 1 , n-z, a= tt-z. a1z [ZBJ_O importante nessa análise é, mais uma vez, notar como a soma de quadrados correspon-
dente à variação total foi "quebrada" em duas parcelas: uma explicada pela regressão e
outra residual sobre a regressão, isto é, atribuída ao acaso. Veremos, nas análises seguintes,
que o que se fará é, mutatis mutandis, exatamente a mesma coisa.l^2 BJ Mas não t2 n- 2 , a, pois os valores F> F 1 , n _ 2 , ª correspondem aos valores lt1 > tn- 2 , u1 2 •