Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

DISTRBIUIÇÕES AMOSTRAIS 49

portanto, preliminarmente, apresentar ao leitor essa família de distribuições. Diremos que a
estatística

(3.11)

onde xi são valores aleatórios independentemente retirados de uma população normal de
médiaμ e desvio-padrão a, tem distribuição x2 com v graus de liberdade. Tal denominação
deve-se a Karl Pearson. Os valores zi em (3.11) são os correspondentes valores da variável
normal reduzida.l^10 l Podemos, portanto, considerar a distribuição da variável x2 com v
graus de liberdade como a soma dos quadrados de v valores independentes da variável
normal reduzida.

Do fato de que μ(z^2 ) = 1, P 1 l segue-se que

μ(x~) = μ(2. 1 = 1 zl) = vμ(z;) = v. (3. 12)

Poder-se-ia também mostrar que

(3.13)

e que a moda da distribuição de x~ é v -2, para v > 2. Além disso, como a variável x2

resulta de uma soma de variáveis independentes e igualmente distribuídas, segue-se do

teorema do limite central que a família de distribuições do tipo x2 tende à distribuição nor-

mal quando o número de graus de liberdade aumenta.

Outra importante propriedade das distribuições tipo x2 é sua aditividade. Essa propriedade

significa que a soma de duas variáveis independentes com distribuições x2 com v 1 e v 2

graus de liberdade terá também distribuição x^2 com v 1 + v 2 graus de liberdade. Essa

propriedade decorre imediatamente da definição da distribuição x^2 , conforme expressa pela

relação (3.11).

A Fig. 3.3 mostra algumas distribuições da família x2. Por outro lado, a Tab. A6.2

fornece valores das variáveis x~. para v = 1, 2, ... , 30, em função de valores notáveis da

probabilidade correspondente à cauda à direita determinada na respectiva distribuição.l^12 l

Assim, por exemplo, se entrarmos na Tab. A6.2 com P = 10% e v = 3, leremos o valor

xi= 6,251. Isso significa que a probabilidade de um valor aleatório da variável xi ser maior

do que 6,251 é 10%. Para v > 30, os valores de x~ poderão ser obtidos pelo uso de

aproximações. Recomendamos a seguinte:

3 [13]

x~ = v(l-:v + z{l;) , (3.14)

[!O] Veja Al .4.4, no Ap. 1.

r- ,

[!^1 l A demonstração desse fato consiste em provar, de acordo com (Al.29), que J---f;e-z^12 dz = 1.

P^2 l A expressão analítica das funções densidade de probabilidade das distribuições 'i2 é dada no Ap. 4,
juntamente com as das distribuições t e F, definidas a seguir.
P^3 l Essa aproximação é melhor que o outro método, proposto anteriormente por Fisher, que consiste em se
tomar x~ = 1 (z+✓2v-1 )2.