Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

64 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

justo da mediana da população. Para populações simétricas, média e mediana coincidem, e
a mediana da amostra é estimador justo da média da população. A consistência seria também
verificada. Sua eficiência, porém, seria da ordem de 64%. Com efeito, para populações normais
e amostras grandes, a^2 (md) = na^2 !2n; logo, a eficiência de md como estimador deμ será

ª^2 (.x) = ª^21 n =I=o,64. (4.11)

a^2 (md) ,ca^2 I 2n n

4.3.2 Estimação por ponto da variância da população

Quando conhecemos a médiaμ da população, devemos estimar sua variância através da
estatística

52 = I.7=1 (xi -μ)2 = I.7=1 xf _ μ2

n n

(4.12)

que será o estimador justo, consistente e eficiente, no caso. Da mesma forma, considerando
as freqüências envolvidas, teríamos

52 = I-7-1 (xi -μ)

(^2) J; = I.1=1 xf J;· μ2,
n n
(4.13)
Essa expressão seria também usada no cálculo da variância de toda uma população
finita, caso em que a média dos dados, calculada pela expressão usual de .x, seria a própria
média populacional.
Supondo agora que μ seja desconhecida, o que, em geral, ocorre na prática, devemos

usar sua estimativa x, média da amostra, recaindo nas expressões (2.1 O), (2.11 ), (2.12)

ou (2.13), conforme o caso. Pode-se perceber agora a principal razão de se usar n - 1 no

denominador dessas expressões, ao invés de simplesmente e naturalmente n (como já se

fez, historicamente), pois isso leva à definição de um estimador justo para·a^2 , devido ao

resultado (3.18).

A consistência de st segue-se diretamente do resultado (3.19), pois

(^1) lmn. ➔= (J 2( S x 2) = 1. lmn➔= --2a^4 = (^0).
n-1
(4.14)

4.3.3 Estimação por ponto do desvio-padrão da população

Embora s^2 , conforme definido em (2 .1 O), seja um estimador justo da variância populacional

a^2 , sua raiz quadradas não é estimador justo do desvio-padrão populacional a. Esse fato

pode ser facilmente demonstrado por absurdo, pois, se μ(s) = a, resultaria que

ª2 (s) = μ(s2) [μ(s) 12 = ª2 ª2 = O, [7J (4.15)

o que não tem sentido. A mesma coisa ocorre no caso em que μ é conhecida.

O vício de s como estimador de a, entretanto, tende assintoticamente a zero. Logo,

para amostras grandes, podemos, por simplificação, adotar como estimativa o próprio desvio-

padrão da amostra, calculado pela raiz quadrada da variância amostral.

l^7 l Foi usada aqui a expressão (Al.36).