158 Complex coordinates; sensed angles; angles between lines Ch. 10
For the left-hand side here is equal to
1
2det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 2 y 2 1
x 3 y 3 1⎞
⎠+^1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 3 y 3 1
x 1 y 1 1⎞
⎠+^1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 1 y 1 1
x 2 y 2 1⎞
⎠
=
1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 2 y 2 1
x 3 y 3 1⎞
⎠−^1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 1 y 1 1
x 3 y 3 1⎞
⎠+^1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 1 y 1 1
x 2 y 2 1⎞
⎠
=
1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 2 −x 1 y 2 −y 1 0
x 3 y 3 1⎞
⎠+^1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 1 y 1 1
x 2 y 2 1⎞
⎠
=
1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 2 −x 1 y 2 −y 1 0
x 3 y 3 1⎞
⎠+^1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 1 y 1 1
x 2 −x 1 y 2 −y 1 0⎞
⎠
=
1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 2 −x 1 y 2 −y 1 0
x 3 y 3 1⎞
⎠−^1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 2 −x 1 y 2 −y 1 0
x 1 y 1 1⎞
⎠
=
1
2
det⎛
⎝
x 4 y 4 1
x 2 −x 1 y 2 −y 1 0
x 3 −x 1 y 3 −y 1 0⎞
⎠
=
1
2
det⎛
⎝
x 1 y 1 1
x 2 −x 1 y 2 −y 1 0
x 3 −x 1 y 3 −y 1 0⎞
⎠=^1
2
det⎛
⎝
x 1 y 1 1
x 2 y 2 1
x 3 y 3 1⎞
⎠,
and this is equal to the right-hand side. This was first proved by Möbius.
10.6 Isometries as compositions .....................
10.6.1 .....................................
O I
J
H 1
H 2
H 4 H 3
Z 0 I 0
J 0
Z 1
Z 2
Figure 10.6.O I
J
H 1
H 2
H 4 H 3