Jordan Ellenberg - Hogy ne tévedjünk - A mindennapi élet rejtett matematikája

és a 13. Ezek az ikerprímek, de az még kérdéses, hogy
csakugyan végtelen sok van-e belőlük, mint sejtjük.
(Most egy rövid számítás következik. Ha az Olvasó úgy
gondolja, ugorja át a következő két bekezdést, és folytassa ott,
hogy „És a számelmélet kutatói...”.)
Emlékezhetünk rá, hogy a prímszámtétel szerint az első N
pozitív egész számból nagyjából N/log N a prímek száma. Ha a
prímek véletlenszerűen oszlanának el, akkor minden szám
1/log N eséllyel lenne prím. Hogy n és n + 2 mindkettő prím
legyen, arra ilyenformán (1/log N) ∙ (1/log N) = (1/log N)^2 az
esély. Akkor tehát hány 2-vel különböző prímpárra
számíthatunk? Az első N szám között nagyjából N az (n, n + 2)
párok száma, és mindegyik (1/log N)^2 eséllyel ikerprím, vagyis
az N számig N/(log N)^2 számú ikerprím várható.
Van azért itt néhány eltérés a tiszta véletlenszerűségtől, s a
számelmélettel foglalkozók megtanulták kezelni az eltérésekből
származó kis hatásokat. A legfontosabb az, hogy az n prím
mivolta és az n + 2 prím mivolta nem független egymástól; ha n
prímszám, akkor attól egy kicsivel valószínűbbé válik, hogy n +
2 is az legyen, s ez annyit tesz, hogy nem egészen helyes ennek
a valószínűségére az (1/log N) ∙ (1/log N) szorzatot venni. (Egy
nehézség: ha n prímszám, és n nagyobb 2-nél, akkor
páratlannak kell lennie, emiatt n + 2 is páratlan, tehát nagyobb
a valószínűsége, hogy ő is prímszám.) G. H. Hardy – ő írt a
„fölösleges zavarokról” – és a vele élethosszig együttműködő J.
E. Littlewood ezt tekintetbe véve finomabb következtetést vont
le az ikerprímek várható számáról; azok várhatóan 32%-kal