párhuzamos [az L egyenest nem metsző] egyenes
húzható.Képzeld el, mi történne, ha valaki egy bonyolult geometriai
érveléssel megmutatná, hogy Eukleidész axiómái óhatatlan
ellentmondásra vezetnek. Hát nem látszik ez teljességgel
lehetetlennek? De vigyázz, a geometria sok rejtélyt tartogat!
1924-ben Stefan Banach és Alfred Tarski megmutatta, hogyan
lehet egy gömböt hat darabra bontani, majd elmozgatni és újra
összerakni úgy, hogy két gömb jöjjön ki belőlük, s mindkettő
ugyanakkora legyen, mint az eredeti volt. Hogyan lehetséges
ez? Az ok az, hogy némely természetes axiómahalmaz axiómái,
bár tapasztalatunk arra indíthat bennünket, hogy elhiggyük
őket a háromdimenziós testekről, térfogatukról és
mozgásaikról, nem lehetnek együtt igazak, még ha ösztönösen
helyesnek látjuk is őket. Ezek a Banach–Tarski-féle darabok
persze végtelenül bonyolult alakzatok, létrehozhatatlanok a
durva fizikai világban. Nem lenne tehát szerencsés dolog üzleti
modellt alapozni arra, hogy majd veszünk egy platinagömböt,
szétszedjük Banach–Tarski-darabokra, azokból összeállítunk két
új gömböt, és azt addig ismételgetjük, ameddig egy egész
vagonra való nemesfémhez nem jutunk.
Ha volna ellentmondás Eukleidész axiómái között, akkor az
kiborítaná a geométereket, éspedig teljes joggal, mert abból az
jönne ki, hogy az általuk alapul vett axiómák közül az egyik
voltaképpen nem volt helyes – esetleg több sem. Ezt
csípősebben is megfogalmazhatjuk: ha ellentmondás van az