fekvő kör (mindegy, milyen méretű) meg e kör átellenes
pontjaiból álló kör.
Ha így definiáljuk őket, akkor eleget tesznek az Eukleidész-
féle első négy axiómának! Ha adva van két Pont – egy átellenes
pontpár meg egy másik –, akkor mindig van őket összekötő
Egyenes – azaz főkör.[^180 ] Sőt bármely két Egyenes egyetlen
Pontban metszi egymást (bár ez nem tartozik az axiómák közé).
Panaszod lehet a második axiómára: kijelenthetjük-e, hogy
az Egyenes szakasz „meghosszabbítható tetszőleges hosszúságú
szakasszá”, ha egyszer nem lehet hosszabb, mint maga az
Egyenes, vagyis a gömbi főkör kerülete? Ez értelmes ellenvetés,
de visszavezethető az értelmezésre. Riemann felfogása szerint
ez az axióma azt mondja, hogy az egyeneseknek nincs határuk,
s nem azt, hogy végtelen kiterjedésűek volnának. A kettő
finoman eltér egymástól. A Riemann-féle Egyenesek – körök
lévén – véges kerületűek, de határtalanok: akármeddig
utazhatsz rajtuk, sohasem fogsz akadályba ütközni.
Az ötödik axióma már más lapra tartozik. Tegyük fel, hogy
van egy P Pontunk, és egy olyan L Egyenesünk, amely nem
megy át P-n. Pontosan egy olyan Egyenes van, amely
párhuzamos az L-lel? Nem, éspedig nagyon egyszerű okból: a
gömbi geometriában nincsenek is párhuzamos egyenesek! A
gömbön bármely két főkörnek metszenie kell egymást.