Robinson megmutatta, hogy nincs ilyen algoritmus. (A
számelmélészek mindenütt megkönnyebbülten felsóhajtottak –
kissé lehangoló lett volna, ha egy algoritmus megmondja, van-e
megoldása azoknak az egyenleteknek, amelyekre éveket
áldoztunk.)
Hilbert második problémája eltért a többitől, mert nem
matematikai kérdés volt, hanem magáról a matematikáról szólt.
Hilbert a probléma bemutatásakor teljes mellszélességgel kiállt
a matematika formalista megközelítése mellett:
Ha egy tudomány alapjainak vizsgálatával foglalkozunk, akkor axiómák
rendszerét kell felállítanunk, egy olyan axiómarendszert, amely pontos és
teljes leírást ad a szóban forgó tudomány elemi fogalmai közötti
kapcsolatokról. Az így felállított axiómák egyszersmind definíciói is azoknak
az elemi fogalmaknak; és annak a tudománynak a világában, amelynek az
alapjait vizsgáljuk, egyetlen állítást sem tekinthetünk helyesnek mindaddig,
amíg nem lehet azt véges számú logikai lépéssel leszármaztatni ezekből az
axiómákból.{^9 }A párizsi előadás idejére Hilbert már felülvizsgálta Eukleidész
axiómáit, és a kétértelműség minden nyomát kiirtva újraírta
őket, egyszersmind szigorúan kivett belőlük bármiféle
hivatkozást a geometriai intuícióra. Az axiómáknak az ő
változatában tényleg semmivel sem lesz kevesebb értelmük, ha
a „pontot” és az „egyenest” „békára” és „törpemandarinra”
cseréljük. Hilbert egy híressé vált mondatában ezt a
megjegyzést tette: „Pont, egyenes és sík helyett lehessen
bármikor táblát, krétát és söröskorsót mondani.”{^10 } Hilbert új