geometriájának a fiatal Wald Ábrahám volt az egyik első lelkes
követője; még bécsi diákként bebizonyította, hogy némelyik
Hilbert-féle axióma levezethető a többiből, vagyis nélkülözhető.
[ 182 ]
Hilbert egyáltalán nem szándékozott megállni a
geometriánál. Olyan tisztán formális matematika megalkotása
volt az álma, amelyben azt mondani, hogy egy állítás igaz,
pontosan azt jelenti – sem többet, sem kevesebbet –, mint azt
mondani, hogy eleget tesz a játék elején rögzített szabályoknak.
Ez a fajta matematika tetszett volna Antonin Scaliának. Az
aritmetikára nézve egy olasz matematikus, Giuseppe Peano
fogalmazta meg a Hilbert által elgondolt axiómákat, de azok
nemigen látszottak olyasminek, amiből bármiféle érdekes
kérdés vagy nézetkülönbség fakadhatna. Ilyesfélék voltak: „a
nulla egy szám”, „ha x egyenlő y-nal és y egyenlő z-vel, akkor x
egyenlő z-vel”, meg hogy „ha a szám x-nek közvetlen rá
következője, egyszersmind y-nak is közvetlen rá következője,
akkor x és y ugyanaz a szám”. Csupa olyan igazság, amit
magától értetődőnek tartunk.
Az a figyelemre méltó ezekben a Peano-féle axiómákban,
hogy belőlük mint puszta kezdetekből létrehozható a
matematika nem csekély része. Az axiómák maguk mintha csak
az egész számokra vonatkoznának, de Peano már kimutatta,
hogy tisztán definíciók és logikai következetések révén
definiálhatók belőlük a racionális számok, sőt bebizonyíthatók
a racionális számok alaptulajdonságai is.[^183 ] A 19. század