1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...?
Itt a három pont azt jelenti, hogy „összegezz a végtelenségig,
mindig a kétszeresére növelve az összeadandót”. Ennek az
összegnek nyilván végtelennek kell lennie! De a 0,9999...-re
vonatkozó és korrektnek látszó eljáráshoz hasonló
gondolatmenet mást sugall. A fenti összeget 2-vel megszorozva
2 ∙ (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + – ...) = 2 + 4 + 8 + 16 + – ...adódik, ami nagyon hasonlít az eredeti összeghez;
tulajdonképpen az eredeti összeg, csak az 1-et letöröltük az
elejéről. Ez azt jelenti, hogy 2 ∙ (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) pontosan 1-
gyel kisebb, mint (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...). Más szóval
2 ∙ (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) – 1 ∙ (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) = –1.A bal oldal azonban pontosan a kiindulási összegre
egyszerűsödik, tehát
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = –1.Tényleg ezt akarjuk hinni?[^24 ] Hogy egyre nagyobb és nagyobb
számokat a végtelenségig összeadva átpottyanunk
Mínuszországba?
Tovább az őrültekházában: Mennyi a következő végtelen
összeg értéke: