1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...?
Először azt gondolhatjuk, hogy az összeg
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ...,és úgy okoskodhatunk, hogy tetszőleges, akár végtelen számú
nulla összege biztosan 0. Másrészt viszont 1 – 1 + 1 ugyanaz, mint
1 – (1 – 1), mert a negatív negatívja pozitív; ezt tovább
alkalmazva átírhatjuk az összeget
1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) – ... = 1 – 0 – 0 – 0 – 0 – ...alakba, ami azt sugallja, hogy az összeg 1-gyel egyenlő! Most
akkor 0 vagy 1? Esetleg időnként az egyik, időnként a másik? Úgy
tűnik, attól függ, hol állunk meg – de a végtelen összegek
sohasem állnak meg!
Ne döntsünk elhamarkodottan, mert lesz ez még rosszabb is.
Tegyük fel, hogy T a titokzatos összegünk értéke:
T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...Vegyük mindkét oldal ellentettjét:
- T = – 1 + 1 – 1 + 1 – ...
A jobb oldali összeg azonban pontosan ugyanaz, mint ha a T
értékét definiáló eredeti összegből elhagyjuk az első 1-et, vagyis
kivonunk belőle 1-et. Más szóval