De mit jelent ez? Az a fránya három pont a gond. Nem lehet
vita arról, hogy mit jelent két, három vagy akár száz számot
összeadni. Az összeadás nem más, mint egy jól érthető fizikai
folyamatnak a matematikai jelölése: vegyünk száz kupac
valamit, keverjük össze, és nézzük meg mennyi adódik. De
végtelen sok dolgot összeadni? Az már egy egészen más történet.
A valóságban soha nincs végtelen sok kupacunk. Mi a számszerű
értéke egy végtelen összegnek? Nincs neki – amíg nem adunk
neki. Ez volt Augustin-Louis Cauchy nagy újítása, aki az 1820-as
években bevezette a határérték fogalmát a kalkulusba.[^26 ]
Ezt legjobban a brit számelmélész, G. H. Hardy magyarázza el
1949-es, Végtelen sorok (Divergent Series) című könyvében:
Egy mai matematikusnak eszébe sem jut, hogy egy matematikai jelkollekciónak
„értelme” lenne, amíg egy definícióval ezt hozzá nem rendeljük. A 18.
században ez azonban még a legnagyobb matematikusok előtt sem volt
nyilvánvaló. Nem volt szokásuk definiálgatni: természetesnek tekintették, hogy
sok-sok szóval mondják el, hogy „X-en Y-t értünk”. Nagy általánosságban igaz,
hogy Cauchy előtt a matematikusok nem azt kérdezték: „Hogyan definiáljuk 1 –
1 + + 1 – 1 + ...-et?”, hanem azt, hogy: „Mi (vagy mennyi) az 1 – 1 + + 1 – 1 + ...?”,
és ez a szellemi szokás okozott aztán fölösleges zavarokat és ellentmondásokat,
amelyek gyakran valójában csak a pontatlan szóhasználaton múltak.Ez azonban nem holmi szabados matematikai relativizmus.
Csak mert egy matematikai jelsorozatot önkényesen tetszőleges
értelemmel felruházhatunk, nem jelenti azt, hogy így is kell
tennünk. A matematikában, akárcsak az életben, vannak jó és
rossz választások. A matematikában azok a jó választások,