Jordan Ellenberg - Hogy ne tévedjünk - A mindennapi élet rejtett matematikája

amelyek feloldják a fölösleges zavarokat anélkül, hogy újakat
gerjesztenének.
A 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... összeg egyre közelebb kerül az 1-hez,
ahogy egyre több tagot adunk össze. És soha nem kerül tőle
távolabb! Mindegy, hogy milyen szoros kordont húzunk az 1
körül, az összeg valamikor, véges sok lépés után áttöri azt, és
örökre azon belül marad. Ilyen körülmények között, mondta
Cauchy, egyszerűen definiáljuk 1-nek az összeg értékét. És utána
kemény munkával bebizonyította, hogy ha elköteleztük
magunkat e definíció mellett, akkor emiatt máshol nem ütik fel a
fejüket szörnyű ellentmondások. Ily módon megteremtette azt a
keretet, amely Newton kalkulusát teljesen precízzé tette. Amikor
azt mondjuk, hogy egy görbe lokálisan úgy néz ki, mint egy adott
szögben hajló egyenes, akkor ezen ma nagyjából a következőt
értjük: ahogy fokozzuk a nagyítást, a görbe egyre jobban hasonlít
az adott egyeneshez. Cauchy megfogalmazásában nincs szükség
végtelenül kicsi számokra, vagy bármi olyanra, ami egy
szkeptikust elborzasztana.
Ennek persze ára van. Azért nehéz a 0,999... probléma, mert
az intuíciónkkal keveredik konfliktusba. Azt szeretnénk, ha a
végtelen sorok összege körül szépen eljátszogathatnánk az előző
oldalakon bemutatott aritmetikai manipulációkkal, amelyek
alapján úgy tűnik, hogy a szóban forgó összeg 1. Másfelől azt
szeretnénk, hogy minden számnak egyértelmű legyen a tizedes
tört előállítása, ami viszont nem vág össze azzal, hogy ugyanazt a
számot egyszer 1-nek, máskor pedig 0,999...-nek nevezzük. Nem
ragaszkodhatunk mindkét dologhoz egyszerre, valamelyikben