engedni kell. Cauchy megközelítésében, aminek erejét az azóta
eltelt két évszázad fényesen igazolta, a tizedestört-előállítás
egyértelműségét kell elvetni. Az senkit sem zavar, hogy két
betűsorozat (azaz két szó) szinonimaként ugyanarra a dologra
utal a világban, így az sem olyan nagy probléma, hogy két
különböző számjegysorozat ugyanazt a számot jelöli.
Ami a Grandi-féle 1 – 1 + 1 – 1 + ...-et illeti, az ilyen végtelen
sor már kívül esik Cauchy elméletének hatókörén: ez egyike a
Hardy könyvének tárgyát képező divergens soroknak. A híres
norvég matematikus, Niels Henrik Abel, Cauchy elméletének
egyik első lelkes híve, így ír 1828-ban: „A divergens sorokat az
ördög találta ki, és szégyen bármiféle bizonyítást ezekre
alapozni.”[^27 ] Hardy hozzáállása, ami egyben a mai álláspont is,
már megengedőbb: vannak olyan végtelen sorok, amelyekhez
hozzá kell rendelnünk értéket, és vannak, amelyekhez nem, és
olyanok is vannak, amelyekhez attól függően rendelünk vagy
nem rendelünk értéket, hogy milyen környezetben szerepelnek.
A modern matematikusok azt mondanák, hogy ha Grandi
sorához valamilyen értéket rendelünk, akkor ez az 1/2 legyen,
mert – ahogy kiderül – a végtelen sorok minden érdemleges
elmélete vagy az 1/2 értéket hozza ki, vagy pedig Cauchy
elméletéhez hasonlóan elhatárolódik az értékadástól.[^28 ]
Cauchy definícióinak a precíz leírása valamivel több munkát
igényel. Ez magára Cauchyra is érvényes, aki az elképzeléseit
nem teljesen a mai letisztult formájukban fogalmazta meg.[^29 ] (A
matematikában nagyon ritka, hogy a gondolatok legvilágosabb
összegzése a felfedezőtől származik.) Cauchy rendíthetetlen