Ortogonala matriser ②
- Bevis Sats 6:
- Antag att matrisen A är ortogonal.
- Vi vill visa att skalärprodukten av en kolonn med sig själv är 1.
- Vi vill även visa att skalärprodukten mellan 2 olika kolonner är 0.
- A ortogonal AtA = E, d v s
- Detta ger
‣ a 12 +^ a 22 + a 32 = 1 (och analogt för b och c)
‣ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0, a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 = 0, b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 = 0
- Detta var exakt vad vi ville visa, kan även visas för raderna i A om vi använder AAt = E.
- Lös gärna övning 12
A =
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
At ⋅ A =
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⋅
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
