Sats 5 - Bevis
- Bevis:
- Vi börjar med att uttrycka u̅ 1 ,u̅ 2 ,u̅ 3 i nya basen 픹v:̅
‣ u̅ 1 = a 1 v 1 ̅ + a 2 v 2 ̅ , + a 3 v 3 ̅
‣ u̅ 2 = b 1 v 1 ̅ + b 2 v 2 ̅ , + b 3 v 3 ̅
‣ u̅ 3 = c 1 v 1 ̅ + c 2 v 2 ̅ , + c 3 v 3 ̅
- Låt sedan = (α, β, γ), d v s = αu̅ 1 + βu̅ 2 + γu̅ 3.
- Detta ger
- = αu̅ 1 + βu̅ 2 + γu̅ 3 = α(a 1 v 1 ̅ + a 2 v 2 ̅ , + a 3 v 3 ̅ )+ β(b 1 v 1 ̅ + b 2 v 2 ̅ , + b 3 v 3 ̅ ) + γ(c 1 v 1 ̅ + c 2 v 2 ̅ , + c 3 v 3 ̅ ) =
- = (αa 1 + βb 1 + γc 1 )v 1 ̅ + (αa 2 + βb 2 + γc 2 )v 2 ̅ , + (αa 3 + βb 3 + γc 3 )v 3 ̅
- Vi får således w̅픹v = ((̅ αa 1 + βb 1 + γc 1 ), (αa 2 + βb 2 + γc 2 ), (αa 3 + βb 3 + γc 3 )) och i matrisform
w ̄ Bu ̄ w ̄ Bu ̄
w ̄ Bu ̄
α a 1 + β b 1 +γ c 1
α a 2 + β b 2 +γ c 2
α a 3 + β b 3 +γ c 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⋅
α
β
γ
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟ Basbytesmatrisen A
