5.7 Dynamics 155
dissipative forces such as those due to friction. Then, by the fundamental theorem of
the calculus (equation (5.34)), there is a functionf(x)such thatF(x) 1 =f′(x)and
(5.55)
The work done from Ato Bcan therefore be expressed as the change in a quantity
which depends only on the end points Aand B, and not on the path Ato B. This
quantity is normally designated by −V, and Vis called the potential energyof the
body. The work from Ato Bis then
(5.56)
where V
Aand V
Bare the values of the potential energy at Aand B. When the work
done by a force is independent of the path, the force is called a conservative forceand
is (–) the derivative of the potential energy (function):
(5.57)
Three simple but important types of conservative force, and corresponding potential
energy, are
(a) F 1 = 1 constant, V(x) 1 = 1 −Fx 1 + 1 C (5.58)
(b) F 1 = 1 −kx, (5.59)
(c) (5.60)
where Cis an arbitrary constant. The graphs of V(x), for C 1 = 10 , are illustrated in
Figure 5.21. In each case, the gradient of the graph isdV 2 dx 1 = 1 −Fso that the force acts
in the direction of decreasing potential energy.
Vx
x
()=− +C
1
F
x
=− ,
1
2Vx kx C()=+
1
2
2Fx
dV
dx
()=− , Vx()=−ZFxdx C() +
WFxdxVV
AB A B==−Z
AB()
WFxdxff
AB==−Z BA
AB() () ( )
.........
.......
...........................
..
...
...
...
..
....
..
...
...
...
..
...V=−Fx
x
.....
....
.....
....
.....
....
....
.....
....
....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
....
.....
....
....
.....
....
....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
....
.....
....
....
.....
....
....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
....
.....
..
....
....
.....
....
....
.....
....
....
..........
.....
...
....
...
....
...
.
....
.....
............
....
....
...
....
......
......
......
....
..
(a)F=constant
........
......
.............................
..
...
...
...
..
....
..
...
...
...
..
...V=
1
2
kx
2
x
.
....
...
....
...
...
....
...
....
...
....
...
....
...
...
....
....
...
....
...
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
....
....
...
....
....
...
....
....
...
....
....
....
....
.....
....
....
.....
.....
.....
.........
.......
.
....
...
....
...
...
....
...
....
...
....
...
....
...
...
....
....
...
....
...
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
....
....
...
....
....
...
....
....
...
....
....
....
....
.....
....
....
.....
.....
.....
.........
.......
....
....
...
....
...
...
....
...
......
...
...
....
.
...
....
....
...
..
....
.....
..........
....
....
....
...
....
...........
.....
...
..
(b)F=−kx
.........
.......
...........................
..
...
...
...
..
....
..
...
...
...
..
...V=−
1
x
x
..
...
....
...
....
...
...
....
...
...
....
...
...
....
...
.....
....
....
...
....
...
...
....
...
...
....
...
....
......
.....
.....
......
......
.......
..........
..........
.............
...................
.........................
........................
....
....
....
....
....
....
....
....
........
...
...
....
.....
.....
....
.
....
.....
............
....
....
...
....
......
......
......
....
..
(c)F=−
1
x
2
Figure 5.21