300 Chapter 10Functions in 3 dimensions
The factorization of the triple integral is allowed because the integrand is the product
of three functions, one for each variable, and the limits of integration are constants
(see Example 9.31). Then
0 Exercises 14–17
Spherical polar coordinates
The volume integral in spherical polar coordinates is
(10.8)
The form of the volume element
dv 1 = 1 r
21 sin 1 θdr dθdφ (10.9)
can be understood in terms of Figure 10.6.
The region∆vis a section of spherical shell
of thickness ∆rbetween radii randr 1 + 1 ∆r,
angles θ and θ 1 + 1 ∆θ, and angles φ and
φ 1 + 1 ∆φ. It can be shown (see Example 10.6)
that the volume of the region is
For small ∆-values this volume is approxi-
mately equal to the volume of a rectangular
box of sides∆r, r∆θ, r 1 sin 1 θ∆φ,
∆v 1 ≈ 1 r
21 sin 1 θ 1 ∆r 1 ∆θ 1 ∆φ (10.10)
and the volume element (10.9) is obtained
for infinitesimal quantities.
×−+
cos cos(θθθφ∆∆) ×
∆∆∆v=∆+ +
rrrr r
2231
3
() ()
ZZZZ
Vfr d fr r d
rr(),,θθφφ= ()sin,, θ
φφθθv
1212122rrd dθ φ
Z
Vxyz d
abcV
v=××=
222 22228
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z
x
o
θ
∆ θ
φ
∆ φ
r
∆ r
∆ v
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Figure 10.6