The Chemistry Maths Book, Second Edition

308 Chapter 10Functions in 3 dimensions

(parallel to the Oyz–plane), y 1 = 1 constant (parallel to the Ozx–plane), and z 1 = 1 constant

(parallel to the Oxy–plane). The coordinate axes through the point are the lines of

intersection of these planes, and are also perpendicular.

In spherical polar coordinates, the position of P(r, 1 θ, 1 φ) is again defined by the

intersection of three coordinate surfaces;r 1 = 1 constant,θ 1 = 1 constant, andφ 1 = 1 constant.

The surfacer 1 = 1 constant is that of a sphere of radius r. The surfaceθ 1 = 1 constant is

that of the right circular cone with apex O and circular base BPB′in Figure 10.7. The

surfaceφ 1 = 1 constant is the (vertical) plane APA′in the figure.

The corresponding ‘axes’ through the point P are the curves of intersection of pairs

of these surfaces. As shown in the figure, the r-coordinate line is a radial line, the

θ-coordinate line (curve) is the semicircle APA′, the φ-coordinate line is the circle

BPB′. These curves (and the surfaces) intersect at right angles; they are perpendicular,

or orthogonal, at their point of intersection P. This is the characteristic property of

the orthogonal curvilinear coordinates.

In the general case, let the cartesian coordinates, x, y, and z, be related to three new

quantities, q

1

,q

2

, and q

3

, by the equations

(10.21)

with inverse relations

(10.22)

The position of a point is then defined by specifying either x,y,zor q

1

, q

2

, q

3

. Each of

the equations (10.22) represents a surface, and the intersection of three such surfaces

locates a point. The surfaces q

1

1 = 1 constant, q

2

1 = 1 constant, and q

3

1 = 1 constant are the

coordinate surfaces; the curves of intersection in pairs are the coordinate lines. The

quantities (q

1

, q

2

, q

3

) are the curvilinear coordinatesof a point P(x, y, z).

Curvilinear coordinates lines do not necessarily intersect at right angles; they

are nonorthogonal in general. Orthogonal curvilinear coordinate systems are those

q q xyz q q xyz q q xyz

11 2 2 33

=(),,, =(),,, =(),,

x xqqq= ,,,() () ()y yqqq= ,,, z zqqq= ,,

123 123 123

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θ

φ

r

a

a

′

b

b

′

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• 
  

p

x

z

y

o

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Figure 10.7