The Chemistry Maths Book, Second Edition

13.5 The Hermite equation 383

The expression in square brackets is the left side of the Hermite equation (13.30), so

that particular solutions of (13.34) are the Hermite functions

y

n

(x) 1 = 1 e

−x

2

22

H

n

(x), n 1 = 1 0, 1, 2, 3, = (13.36)

These functions, finite for all values of x, are orthogonal, with property

(13.37)

The Hermite functions are of interest in chemistry because they are the eigenfunctions

of the quantum-mechanical problem of the harmonic oscillator. The graphs of the

first three functions are shown in Figure 13.1.

0 Exercise 22

EXAMPLE 13.11Show that the Hermite function where

is a solution of the Schrödinger equation for the harmonic oscillator

Let Then, for

and

−+=′′

2

22 m

k

αψ zE

α

ψψ

d

dx

d

dz

dx

d

dz

d

dx

ψψ

α

ψ

αψ

ψ

== =, =′′αψ′

2

zx= α. ψψα ψ==()(),xz

−+=

22

2

2

1

m 2

d

dx

kx E

ψ

ψψ

α= km

2

,

eHx

x

n

−α

α

2

22

(),

ZZ

−

+

−

+

−

==

∞

yxyxdx e HxHxdx n

mn

x

mn

n

() () () ()

2

2 !!

,

πδ

mn

....... ........ ....... ......

........

.......

..

...

..

...

..

.... ... ... .. ... .. ... ... .

.. ... ... .. ... .. ... ... .

e

−x



/ 2

H 0

(x)

0

x

.........................................

................

..........

........

.......

........

.......

......

.......

.....

......

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........

.......

...........

................

........................................

..

...

..

...

..

.... ... ... .. ... .. ... ... .

.. ... ... .. ... .. ... ... .

e

−x



/ 2

H 1

(x)

0

......................

...........

.........

......

.......

......

.....

......

.....

......

.....

......

.....

......

.....

......

.....

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..........................

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...................

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.............

................

..

...

..

...

..

.... ... ... .. ... .. ... ... .

.. ... ... .. ... .. ... ... .

e

−x



/ 2

H 2

(x)

0 ..........

.........

.......

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.........

Figure 13.1