462 Chapter 16Vectors
16.6 The vector (cross) product
Every pair of non-parallel vectors, aand b, defines a parallelogram, Figure 16.24,
whose area isab 1 sin 1 θ(base ×perpendicular height).
In addition, Figures 16.25 show that when the vectors are set head to tail, they define
a sense of direction of rotation; anticlockwise, or ‘direction up’, in (i) for ainto b,
and clockwise, or ‘direction down’, in (ii) for binto a.
These properties of a pair of vectors define a new vector, the vector productor cross
productof aand b,
v 1 = 1 a 1 z 1 b (16.47)
(read as ‘a cross b’), whose length is
|v| 1 = 1 ab 1 sin 1 θ (16.48)
and whose direction is perpendicular to both aand b(to the parallelogram), and is
such that the triple of vectors (a, b, v), in this order, form a right-handed system (as
in Figure 16.25(i)). Figure (ii) shows that this direction is reversed when the order of
aand bin (16.47) is reversed, so that
b 1 z 1 a 1 = 1 −a 1 z 1 b (16.49)
Unlike the scalar product therefore, the vector product is notcommutative; it is
anti-commutative.
It follows from (16.48) that the vector product is zero ifθ 1 = 10 orθ 1 = 1 π; that is, if a
and bhave the same or opposite directions. In particular,
a 1 z 1 a 1 = 10 (16.50)
bsi nθ
θ
.............................................................................................................................................................................................
...........
............
.
.........
............
.....
....................................................................................
......
.....
....
......
.....
....
......
....
.....
......
....
.....
......
....
.....
......
....
.....
...........
....
....
....
....
....
.
.........
.......
........
..
.
....
.....
......
....
.....
......
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.................................................................................................................................. .....
..........
......
.
............
...........
..
........................................................................................................................
....
......
.....
....
......
.....
....
......
....
.....
......
....
.....
......
....
.....
......
....
.....
...........
....
....
....
....
....
.
.........
.......
........
..
.
....
.....
......
....
.....
......
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
a
b
a
b
Figure 16.24
.
.
.
.
.
.
..................................................................................................................................
.........
......
......
.....
....
....
....
....
.....
.....
.....
.......
.........
...........
.............................
.
............................
............
.........
......
......
.....
....
....
....
....
.....
.....
.....
.......
........
......
....
..........................
.......
.....
.....
.....
....
.....
...
........................................................................................................................................................................................................................................................
...........
.......
....
..........
............
..
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
....
......
.....
....
......
.....
....
......
.....
....
......
.....
.....
.....
.....
.....
....
....
....
.....
....
....
...
...
........
.......
........
..
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.....
....
....
...
..
....
....
.....
....
....
...
..
....
.....
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.....
....
....
.....
....
..
..
.....
....
....
.....
....
..
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...
a
b
v
(i)
.
.
.
.
.
.
..................................................................................................................................
.........
......
......
.....
....
....
....
....
.....
.....
.....
.......
.........
...........
.............................
.
............................
............
.........
......
......
.....
....
....
....
....
.....
.....
.....
.......
........
......
......
.......
.....
.....
.....
.....
....
...........
................
.....................................................................................................................................................................................................................................................
..........
...........
.......
...........
........
..
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
....
.....
......
.....
....
......
.....
....
......
.....
....
......
.....
....
......
.....
.....
.....
.....
.....
....
....
....
.....
....
....
...
...
........
.......
........
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.....
...
....
.....
...
....
.....
...
....
.....
...
....
.....
....
...
.....
....
...
.....
....
...
.....
....
...
..
....
....
.....
....
....
....
.
....
....
.....
....
....
....
..
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
.....
....
....
.....
....
...
.
.....
....
....
.....
....
...
..
...
....
....
....
....
....
....
....
....
...
..
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
a
b
v
(ii )
Figure 16.25