The Chemistry Maths Book, Second Edition

16.6 The vector (cross) product 465

More generally, we consider a particle (that may be part of a rotating body) rotating

about the axis OA through the fixed point O, as illustrated in Figure 16.29. In this case,

equation (16.56) is replaced by

v 1 = 1 ωr 1 sin 1 θ (16.57)

and this is just the magnitude of the vector product

v 1 =1y1z 1 r (16.58)

which also correctly defines the direction of each of the three vectors with respect to

the others. For a rigid body rotating with angular velocity y, equation (16.58) gives

the velocity at each point rin the body.

Angular momentum

The angular momentum lof a mass mabout a point is defined as the moment of the

linear momentump 1 = 1 mvabout the point,

l 1 = 1 r 1 z 1 p (16.59)

Its magnitude about the point O in Figure 16.30 isl 1 = 1 pd 1 = 1 pr 1 sin 1 θ, and its direction

is perpendicular to the plane defined by rand p. This direction is not in general the

same as that of the angular velocity y, as can be seen by reference to Figure 16.29 (with

vreplaced by p). It can be shown that (see Exercise 44)

l 1 = 1 mr

2

ω 1 − 1 m(r 1

·

1y)r (16.60)

so that land yhave the same direction only if rand yare perpendicular vectors, when

r 1
·

1y1= 10. This is the case for motion in a circle with the reference point O at the centre

of the circle. Then

l 1 = 1 mr

2

ω 1 = 1 Iω (16.61)

a

o

ω

• 
  


• 
  


• 
  

v

r

θ

rsin θ

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p

o

r

d

θ

Figure 16.29

Figure 16.30

v

ω

o

r

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Figure 16.28