586 Chapter 20Numerical methods
because no appropriate method exists or because there is no analytical solution. It is
then necessary to use numerical methods of solution.
An analytical solution is always better than a numerical one. For example, the
analytical solution can be evaluated for any numerical values of the independent
variables, whereas a numerical solution takes the form of a table of values for a
fixed discrete set of values of the variables. An analytical solution will in general
contain one or more arbitrary parameters whose values may be determined by the
imposition of initial or boundary conditions. In a numerical method, the values of
these parameters must be fixed at the outset, before a solution can be obtained. In
addition, the functional behaviour of the solution may give additional insights into
the nature of the physical problem of which the differential equation is the model.
The first-order differential equations discussed in this section have the general form
(20.49)
It is shown in Section 20.10 that an ordinary higher-order equation can always be
expressed as a system of simultaneous first-order equations, and the numerical
methods for the single equations are also applicable to such systems.
Graphical representation
Equation (20.49) is an expression in the two variables xand yso that a value ofy′(x)
is defined at each point of the xy-plane. A graphical representation of the differential
equation is then obtained by representing the value ofy′(x)at each point on a grid in
the plane by a line segment with gradientf(x, y), as illustrated in Figure 20.10 for the
equation
y′(x) 1 = 1 2(x 1 − 12 y) 2 (x 1 + 1 y).
Such a diagram is called a direction field. A solution of the differential equation then
has a graph that is tangential to its direction lines at every point on the curve. The
graphs of three solutions are shown in the figure; the upper graph for condition
y(1) 1 = 12 , the middle fory(0.25) 1 = 1 0.5, the lower fory(3) 1 = 11.
yx
dy
dx
′= = ,() fxy( )
y
x
0.5
1.0
1.5
2.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
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...Figure 20.10