70 Chapter 3Transcendental functions
0 Exercises 9, 10
Periodic functions
A functionf(x)with the property
f(x 1 ± 1 a) 1 = 1 f(x) (3.14)
is called a periodic functionof xwith perioda; the value of the function is unchanged
when xis replaced byx 1 + 1 aorx 1 − 1 a. The sine and cosine functions are periodic
functions with period 2 π, the tangent is periodic with period π. The sine and cosine
curves in Figure 3.11 are called harmonic waves, and the functions form the basis for
the description of all forms of waves and other oscillatory motions.
− 1
− 2 π −ππ 2 π
+1
o
x
y
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
....
.....
................
....
....
....
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
...
..
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
....
...
....
....
.......
....
.......
.....
...
....
...
...
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
....
...
...
...
....
...
....
...
.....
................
....
....
....
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
....
...
....
....
.......
....
........
....
...
....
...
....
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
....
...
...
....
...
...
.....
....
................
....
....
....
...
....
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(b ) y=cosx
−
3 π2−π
−
π2o
π23 π2π
x
y
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
...
...
..
....
...
...
....
...
.....
.....
......
.........
.......
....
...
...
..
..
...
...
..
...
....
...
....
...
...
...
...
....
...
....
....
.....
....
.....
.....
.....
......
......
......
......
......
......
.....
......
.....
.....
.....
....
....
.....
...
....
...
...
...
....
...
...
....
...
...
...
..
...
..
...
...
...
....
.........
........
......
....
.....
...
....
...
...
...
...
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
...
...
..
....
...
...
....
...
.....
.....
......
.........
.......
....
...
...
..
..
...
...
..
...
....
...
....
...
...
...
...
....
...
....
....
.....
....
.....
.....
.....
......
......
......
......
......
......
.....
......
.....
.....
.....
....
....
.....
...
....
...
...
...
....
...
...
....
...
...
...
..
...
..
...
...
...
....
.........
........
......
....
.....
...
....
...
...
...
...
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
...
...
..
....
...
...
....
...
.....
.....
......
.........
.......
....
...
...
..
..
...
...
..
...
....
...
....
...
...
...
...
....
...
....
....
.....
....
.....
.....
.....
......
......
......
......
......
......
.....
......
.....
......
....
....
.....
....
...
....
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
..
...
..
...
...
...
....
..........
.......
......
.....
....
...
....
...
...
...
...
..
...
..
..
...
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
(c) y=tanx
Figure 3.11
+1
− 1
− 2 π
−π
o
2 π
π
x
y
.......
....
....
....
...
....
...
....
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
..
...
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
....
...
...
....
...
....
......
..........
......
....
...
....
...
...
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
....
...
...
....
...
....
....
....
.............
....
....
....
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
..
...
....
...
..
...
....
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
....
...
....
......
..........
......
....
...
....
...
...
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
...
..
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
....
...
...
....
...
....
....
.....
............
....
....
....
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
..
...
....
...
..
....
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
....
...
....
......
.....
(a ) y=sinx