∫
xncoth−^1 xadx=n+ 1^1 xn+1coth−^1 xa−n+ 1a∫ xn+1dx
a^2 −x^2∫
xnsech−^1 xadx=
1
n+ 1xn+1sech− 1 x
a+a
n+ 1∫ xndx
√
a^2 −x^2 , sech− (^1) (x/a)> 0
1
n+ 1x
n+1sech− 1 x
a−
a
n+ 1
∫ xndx
√
a^2 −x^2
, sech−^1 (x/a)< 0
682.
∫
xncsch−^1 xadx=n+ 1^1 xn+1csch−^1 xa±n+ 1a
∫ xndx
√
x^2 +a^2
, +forx > 0 ,−forx < 0
683.
∫ 1
xsinh
− 1 x
adx=
x
a−
(x/a)^3
2 · 3 · 3 +
1 ·3(x/a)^5
2 · 4 · 4 · 5 −
1 · 3 ·5(x/a)^7
2 · 4 · 6 · 7 · 7 +···+C, |x|> a
1
2
(
ln|^2 ax|
) 2
−(a/x)
2
2 · 2 · 2 +
1 ·3(a/x)^4
2 · 4 · 4 · 4 −
1 · 3 ·5(a/x)^6
2 · 4 · 6 · 6 · 6 +···+C, x > a
−^12
(
ln|−a^2 x|
) 2
+(a/x)
2
2 · 2 · 2 −
1 ·3(a/x)^4
2 · 4 · 4 · 4 +
1 · 3 ·5(a/x)^6
2 · 4 · 6 · 6 · 6 +···+C, x <−a
684.
∫ 1
xcosh
− 1 x
adx=±
[
1
2
(
ln|^2 ax|
) 2
+(a/x)
2
2 · 2 · 2 +
1 ·3(a/x)^4
2 · 4 · 4 · 4 +
1 · 3 ·5(a/x)^6
2 · 4 · 6 · 6 · 6 +···
]
+C
+forcosh−^1 (x/a)> 0 ,−forcosh−^1 (x/a)< 0
685.
∫ 1
xtanh
− 1 x
adx=
x
a+
(x/a)^3
32 +
(x/a)^5
52 +···+C
686.
∫ 1
xcoth
− 1 x
adx=
ax
2 +
1
2 (x
(^2) −a (^2) ) coth− 1 x
a+C
687.
∫ 1
xsech
− 1 x
adx=
−^12 ln|ax|ln|^4 xa|−(x/a)
2
2 · 2 · 2 −
1 ·3(x/a)^4
2 · 4 · 4 · 4 −···+C, sech
− (^1) (x/a)> 0
1
2 ln|
a
x|ln|
4 a
x|+
(x/a)^2
2 · 2 · 2 +
1 ·3(x/a)^4
2 · 4 · 4 · 4 +···, sech
− (^1) (x/a)< 0
688.
∫ 1
xcsch
− 1 x
adx=
1
2 ln|
x
a|ln|
4 a
x|+
(x/a)^2
2 · 2 · 2 −
1 ·3(x/a)^4
2 · 4 · 4 · 4 +···+C,^0 < x < a
1
2 ln|
−x
a|ln|
−x
4 a|−
(x/a)^2
2 · 2 · 2 +
1 ·3(x/a)^4
2 · 4 · 4 · 4 −···, −a < x <^0
−ax+(a/x)
3
2 · 3 · 3 −
1 ·3(a/x)^5
2 · 4 · 5 · 5 +···+C, |x|> a
Integrals evaluated by reduction formula
- IfSn=
∫
sinnx dx, thenSn=−n^1 sinn−^1 xcosx+n−n^1 Sn− 2- IfCn=
∫
cosnx dx, thenCn=^1 nsinxcosn−^1 x+n−n^1 Cn− 2- IfIn=
∫ sinnax
cosaxdx, thenIn=− 1
(n−1)asinn− (^1) ax+In− 2
- IfIn=
∫ cosnax
sinax dx, thenIn=1
(n−1)acosn− (^1) ax+In− 2
Appendix C