Th e logical Greek versus the imaginative Oriental 281
form of demonstration, it is tremendously characteristic for the mental
capacity of those geometers. To compute with almost endless possibilities,
they never go beyond that.’ 16 Compare Zeuthen: ‘In all cases they do not
give such justifi cations in words, but satisfy themselves to make a drawing
and, with the word “look!”, refer to the fi gure, which, for the Greeks, forms
the starting point of the actual demonstration.’ 17 However, in a commen-
tary on the geometry of Brahmagupta, Hankel found a more promising
kind of demonstration: ‘If we except the strange form of the expression, we
do fi nd in this passage the idea of the demonstration, briefl y it is true, but
hinted at with absolute clarity... But how diff erent is this derivation from
a Euclidean one!’ 18
But why was Indian mathematical practice so diff erent from the Greek
one? Hankel was convinced that the reasons lay in Indian philosophy:
‘Th e Brahmans [have] an essentially diff erent way of thinking than the
Greeks; for them the reasons are less important than the results, the why
less important than the how; they operate more with ideas and imagina-
tions than with concepts. Th e sharpness and certainty they thereby lose
is compensated by increased depth and breadth.’ 19 And he then off ered as
an explanatory example the case of grammar: whereas the Greeks have a
logical and syntactical grammatical system, Indian grammar – epitomized
by Pān. ini – is empirical and etymological. 20 But these aspects of Pān. ini’s
system he considered fruitful, for we are dealing with a ‘unique and abso-
lutely scientifi c grammar’. Th e formal constraints imposed on scientifi c
writings, however, namely the use of compact versifi ed rules, he sees as an
obvious obstacle to the formulation of theorems and their logical proofs.
Th is negative remark notwithstanding, Hankel did not consider the Indian
16 ‘Diese Beweisform, welche bei Brahmagupta nirgend auft ritt, muss wohl als indisch betrachtet
werden. Sie ist mit der algebraischen Beweisform verbunden ungemein charakteristisch für
die Fassungskraft jener Geometer. Rechnen in nahezu unbegrenzter Möglichkeit, darüber
kommen sie nicht hinaus.’ Cantor 1894 : 614. In the third edition (1914: 656), the word
‘Fassungskraft ’ is replaced by ‘Darstellungsweise’ (mode of representation).
17 ‘Jedenfalls geben sie solche Begründungen nicht in Worten wieder, sondern sie begnügen sich
damit zu zeichnen und durch das Wort ‘Siehe! ’ auf die Figur hinzuweisen, die der wirklichen
Beweisführung der Griechen zu Grunde lag.’ Zeuthen 1896 : 261.
18 ‘Sehen wir von der fremdartigen Form des Ausdruckes ab, so fi nden wir in dieser Stelle die
Idee des Beweises zwar kurz, doch völlig klar angedeutet.... Wie verschieden aber ist diese
Ableitung von einer nach Art des Euklid!’ Hankel 1874 : 208.
19 ‘Die Brahmanen [haben] eine von den Griechen wesentlich verschiedene Art zu denken; sie
legen weniger Werth auf die Begründung, als auf das Resultat, weniger auf das Warum als
das Wie; sie operieren mehr mit Ideen und Vorstellungen, als mit Begriff en. Was sie dadurch
an Schärfe und Bestimmtheit verlieren, gewinnen sie wieder durch größere Tiefe und Weite.’
Hankel 1874 : 173.
20 P ā n. ini ( c. fi ft h century bce ) is the author of the fundamental grammar of classical Sanskrit.