súbito. Isso os leva mais perto do limiar.
Figura 15.1
Oscilador de integração-e-disparo.Dizemos que dois osciladores estão “acoplados” se um deles afeta o estado do outro. O
exemplo clássico é a observação, feita pelo grande físico holandês Christiaan Huygens, de que
pêndulos de relógios apoiados na mesma prateleira afetam um ao outro. Cada pêndulo faz com
que a prateleira vibre, e as vibrações são transmitidas ao outro pêndulo. Essa interação muitas
vezes provoca a sincronização dos pêndulos.
No entanto, osciladores acoplados nem sempre se sincronizam — um bom exemplo são as
patas de um animal ao caminhar. Cada pata é um oscilador, e o corpo do animal as acopla, mas
as patas normalmente não se movem todas ao mesmo tempo. Um enxame de vaga-lumes se
comporta como um sistema de osciladores acoplados; nesse sistema, a sincronia
aparentemente é a norma. A função do matemático é descobrir por quê.
Peskin deu o primeiro passo em direção a um entendimento. Num estudo sobre a
sincronização das fibras musculares do coração, ele criou um modelo particular de oscilador
do tipo “integração-e-disparo”. Seu modelo apresenta uma equação específica para explicar
como a fase se acumula. Podemos aplicar a mesma equação aos vaga-lumes — estudos
fisiológicos mostram que esse modelo é uma representação razoável, embora não exata, do seu
ciclo de clarões. Peskin também apresentou uma importante ideia relacionada ao acoplamento
dos pulsos de osciladores do tipo “integração-e-disparo”. Tais osciladores afetam os outros
somente quando disparam. Quando o fazem, emitem um sinal aos demais, provocando um
aumento súbito em suas fases. Se esse aumento fizer com que outro oscilador atinja o limiar,
este também disparará, e assim por diante.
E os sinais visuais emitidos por um vaga-lume afetam as substâncias químicas de um outro
exatamente dessa maneira. Ao ver o clarão de um vizinho o vaga-lume é estimulado,
aproximando-se do limiar. Peskin provou que se dois osciladores idênticos do tipo
“integração-e-disparo” acoplados pelo pulso obedecerem à sua equação, acabarão por se
sincronizar. (Na verdade, se suas fases iniciais começarem em valores muito especiais os
clarões se alternarão periodicamente, mas esse estado é instável — pode ser destruído pela
menor perturbação. A não ser nesses valores especiais, o sistema sempre entra em sincronia.
Portanto, podemos dizer que “quase sempre” se sincroniza.)
Peskin também conjecturou que o mesmo ocorreria em qualquer rede de osciladores do
tipo “integração-e-disparo” acoplados. Mirollo e Strogatz provaram essa conjectura,
presumindo uma equação mais geral que a de Peskin. Com base em algumas hipóteses técnicas,
citadas em seu artigo, os autores demonstraram que, num sistema com qualquer número de
osciladores acoplados idênticos, todos acoplados a todos, os osciladores quase sempre
acabarão por entrar em sincronia. (Novamente, existe um raro conjunto de condições iniciais
em que o comportamento é periódico; porém, esses estados também são instáveis, daí o
“quase”.) A prova se baseia numa ideia chamada “absorção”, que ocorre quando dois
osciladores com fases diferentes se associam, e a partir de então permanecem na fase um do
outro. Como o acoplamento é completamente simétrico, um grupo de osciladores que se