Figura 17.1
Triângulo de Sierpinski.O triângulo surgiu em cena em 1915, como “uma curva ao mesmo tempo de Jordan e de
Cantor, na qual todos os pontos são pontos de ramificação”. Em termos menos formais, trata-se
de uma curva que cruza a si mesma em todos os pontos — um caso clássico de uma
propriedade geométrica tão contraintuitiva que suas formas ficaram conhecidas como “curvas
patológicas”. Hoje são vistas como um tópico natural e central na matemática, ilustrando os
perigos de uma intuição geométrica excessivamente ingênua; porém, quando surgiram, a
maioria dos matemáticos as recebeu como se fossem monstruosidades medonhas. Sierpinski
tinha mais imaginação, e as achou fascinantes.
Em termos mais estritos, o triângulo de Sierpinski cruza a si mesmo em todos os pontos,
exceto nos três vértices. A resposta de Sierpinski a essa objeção era que, se dispuséssemos
seis cópias do triângulo de modo que formassem um hexágono regular, o resultado seria uma
curva que cruzava a si mesma em todos os pontos.
Algum tempo antes, em 1890, outro francês, Edouard Lucas, descobrira um teorema que,
em retrospecto, apresentava uma conexão entre o triângulo de Sierpinski e o famoso triângulo
de Pascal (Figura 17.2), no qual cada número é a soma dos dois números acima,
imediatamente à direita e à esquerda. Tecnicamente, esses números são conhecidos como
coeficientes binomiais, e a k-ésima entrada da fila n é o número de maneiras diferentes de
escolhermos k objetos a partir de n. O triângulo foi creditado (incorretamente) a Blaise Pascal,
que escreveu a seu respeito em 1665. No entanto, ele já aparece na página de abertura de um
texto de aritmética de Petrus Apianus, escrito no início do século XVI, e pode ser visto num
livro de matemática chinês de 1303. De fato, podemos encontrar referências ao triângulo feitas
perto de 1100 por Omar Khayyam, que aparentemente o conheceu a partir de fontes árabes ou
chinesas mais antigas. Sir Isaac Newton apresentou uma fórmula explícita para os números do
triângulo de Pascal, mas essa fórmula já era conhecida pelo matemático indiano Bhaskara, no
século XII, embora o indiano utilizasse uma notação diferente.