Figura 17.2
Triângulo de Pascal com números ímpares em cinza.Lucas se perguntou: quais números do triângulo de Pascal são pares ou ímpares? Na Figura
17.2, marquei em cinza os números ímpares, mas, para observar o padrão completo,
precisamos de um diagrama maior. O uso de um computador facilita o experimento: o
resultado, na Figura 17.3, é notável e surpreendente. Os coeficientes binomiais ímpares se
parecem muito com uma versão “discreta” do triângulo de Sierpinski. Lucas encontrou uma
explicação matemática para esse padrão em 1890, baseada no uso de notação binária para os
números. Podemos obter padrões semelhantes se nos perguntarmos quais coeficientes
binomiais são múltiplos de 3, ou deixam resto 1 ou 2 quando divididos por 3 — ou, de modo
mais geral, quais deles deixam um resto dado quando divididos por algum número escolhido.
Os padrões resultantes são, no mínimo, tão bonitos quanto o dos números pares/ímpares: veja
o artigo de Marta Sved nas “Sugestões de leitura”.
Uma consequência curiosa é o fato de que “quase todos” os coeficientes binomiais são
pares — isto é, à medida que o triângulo de Pascal aumenta indefinidamente de tamanho, a
proporção de números ímpares se aproxima cada vez mais de 0. Isso ocorre porque, como o
triângulo é uma curva, sua área — que, no limite, representa a proporção de coeficientes
binomiais ímpares — é zero. David Singmaster levou essa observação adiante, provando que,
para qualquer m, quase todos os coeficientes binomiais são divisíveis por m.