CORREIO
Ron Menendez, de Chatham, Nova Jersey, apresentou mais um caso do
triângulo de Sierpinski. Desenhe três pontos A, B e C no plano, nos vértices
de um triângulo equilátero, e escolha aleatoriamente um ponto de partida X
no plano. Escolha aleatoriamente um vértice A, B ou C, com probabilidade
1/3 (por exemplo, jogue um dado de modo que 1 ou 2 correspondam a A, 3
ou 4 a B e 5 ou 6 a C). Encontre o ponto médio da linha que une X ao
vértice escolhido: essa será a nova posição de X. Agora repita o processo,
sempre escolhendo aleatoriamente um vértice entre A, B e C e movendo X
para o ponto médio entre sua posição atual e esse vértice. A não ser por
alguns pontos iniciais onde o caminho se “acalma”, a nuvem de pontos
resultante é — um triângulo de Sierpinski!
Esse é um resultado bastante surpreendente, dada a aleatoriedade, e
pode ser explicado pela teoria dos fractais autossimilares de Michael
Barnsley. O triângulo de Sierpinski tem três vértices A, B, C. É formado por
três cópias de si mesmo, cada uma com a metade do tamanho: ou seja, é
obtido substituindo-se cada ponto do triângulo pelo ponto médio da linha
que o une a A, B ou C. Essa característica do triângulo corresponde às
regras para o caminho aleatório. Barnsley provou que, com probabilidade
1, qualquer caminho aleatório que siga essas regras “converge” para o
triângulo de Sierpinski, o que significa que, após algumas etapas, todos os
pontos que desenhamos se encontrarão muito próximos ao triângulo.
A elegância desse exemplo surge da emergência do triângulo, de
maneira bastante aleatória, a partir de uma nuvem de pontos, ao invés de
ser desenhado um pedaço por vez.