X forem elementos de Y: por exemplo, o conjunto {3,5,7}, formado por todos os números
primos ímpares menores que 10, é um subconjunto de {2,3,5,7}. Todos os conjuntos são
considerados subconjuntos de si mesmos; dizemos que um subconjunto de X é próprio se for
diferente de X.
Os conjuntos podem ter um único elemento: por exemplo, {2}, o conjunto de todos os
números primos pares. Um conjunto pode não ter elementos; nesse caso, é chamado de
conjunto vazio. Um exemplo é o conjunto de todos os números primos pares maiores que 3,
que, representado entre chaves, seria {}.
O jogo de Gale é chamado Roubo de Subconjuntos. Ele começa com um conjunto finito S,
que podemos considerar como sendo o conjunto {1, 2,..., n} dos números inteiros que vão de
1 a n. Os jogadores escolhem alternadamente um subconjunto próprio e não vazio de S, com
base em uma condição: nenhum subconjunto escolhido anteriormente (por qualquer jogador)
pode ser um subconjunto do novo subconjunto. O primeiro jogador que não conseguir definir
um novo subconjunto perde o jogo.
Um modo prático de jogarmos é desenhar uma série de colunas numa folha de papel,
encabeçadas pelos números 1, ..., n, e marcar uma linha de cruzamentos nas colunas que
correspondem ao subconjunto escolhido. Nenhuma jogada nova poderá incluir todos os
cruzamentos de alguma jogada anterior. Uma maneira mais interessante de representarmos as
jogadas, que mencionaremos a seguir, é geométrica — na verdade, topológica.
Mais uma vez, sejam os jogadores Alice e Bruno; Alice joga primeiro. Quando n = 1, não
há jogadas válidas. Quando n = 2, temos S = {1,2}. As únicas jogadas possíveis de abertura
para Alice são {1} e {2}, e qualquer que seja a escolha dela, Bruno poderá escolher o outro
conjunto. Então Alice fica sem opções, e Bruno vence.
Quando n = 3, temos S = {1,2,3}. Suponha que Alice escolheu um subconjunto com dois
elementos, por exemplo, {1,2}. Então, Bruno pode escolher o subconjunto complementar (tudo
o que Alice não escolheu), que, neste caso, é {3}. Agora, Alice não pode escolher nada que
contenha 3, portanto deve escolher um subconjunto de {1,2}, e a partir desse ponto o jogo é
exatamente igual ao anterior, no qual o conjunto de partida era {1,2}, pois Bruno também está
impedido de escolher qualquer subconjunto que contenha 3. Portanto Bruno vence novamente.
O mesmo vale se Alice começar o jogo com qualquer outro subconjunto que contenha dois
elementos, pelo mesmo motivo. No entanto, Alice pode utilizar uma abertura diferente: um
subconjunto formado por um único elemento, como {3}. Nesse caso, Bruno escolhe o
subconjunto complementar {1,2}, e o jogo novamente deverá continuar como se o conjunto
inicial fosse {1,2}, e assim Bruno vence mais uma vez. Como a abertura de Alice deve ser um
subconjunto formado por um ou dois elementos, Bruno encontrou uma estratégia imbatível:
“sempre jogar o complemento da jogada de Alice”.
Antes de continuar a leitura, você talvez queira considerar se a mesma estratégia daria a
vitória a Bruno se n fosse maior que 3.
Aí entra a topologia. Essa área da matemática costuma ser descrita como a “geometria da
folha de borracha”, o estudo das propriedades de objetos que não se alteram quando o objeto é
deformado continuamente. Neste caso, porém, não precisamos de nenhum elástico. Em vez
disso, usamos uma das técnicas básicas da topologia, que é — quando possível — a
triangulação do objeto: isto é, dividi-lo em triângulos unidos pelas arestas. Em termos estritos,
a descrição se aplica somente às superfícies, mas podemos utilizar a mesma abordagem em
objetos de maiores dimensões se substituirmos os triângulos por “simplexos”. Por exemplo,
um simplexo tridimensional, ou 3-simplexo, é um tetraedro, com vértices 1,2,3,4. Possui
quatro faces, seis arestas e quatro vértices. Suas faces são triângulos: 2-simplexos. As arestas
são segmentos de reta: 1-simplexo. E os vértices são pontos: 0-simplexo. Além disso, esses
pedaços de 3-simplexos correspondem exatamente a subconjuntos de {1,2,3,4}. O próprio