tetraedro corresponde ao conjunto inteiro {1,2,3,4}. As faces correspondem aos subconjuntos
de 3 elementos {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} e {2,3,4}. As arestas correspondem aos subconjuntos
de 2 elementos {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4} e {3,4}. E os vértices correspondem aos
subconjuntos de 1 elemento {1}, {2}, {3}, {4}.
Da mesma forma, um (n – 1)-simplexo pode ser identificado com o conjunto {1,2,...,n}, e
seus diversos lados (vamos usar este termo independentemente da dimensão) de dimensões
mais baixas podem ser identificados com subconjuntos cujos tamanhos excedem a dimensão
por 1.
Podemos agora mudar o nome do jogo, de Roubo de Conjuntos para Apagamento de
Simplexos. Os jogadores começam com um simplexo. Cada jogada consiste em escolher um
subsimplexo próprio de qualquer dimensão e apagar seu interior, além de todos os
subsimplexos de dimensões maiores que o tenham como um de seus lados. No entanto, a
margem do subsimplexo escolhido — todos os seus lados — permanece.
Podemos usar essa representação topológica para analisar o Apagamento de Simplexos
para um 3-simplexo, que corresponde ao Roubo de Conjuntos para n = 4. A posição inicial é
um 3-simplexo completo; ou seja, um tetraedro. Como o conjunto completo {1,2,3,4} não é
uma jogada permitida, este tetraedro é “oco” — seu interior não vale como uma jogada. A
Figura 19.1 mostra uma série de jogadas permitidas (diagramas como esse, construídos a
partir de simplexos de várias dimensões, são chamados de complexos simpliciais). Uma
análise sistemática de todas essas sequências mostra que existe uma estratégia imbatível para
Bruno no jogo com n = 4. O mesmo vale para n = 5 e 6, o que levou Gale a conjecturar que,
independentemente do valor de n, Bruno sempre poderá encontrar uma estratégia imbatível.
Até onde eu sei, essa conjectura ainda não foi provada nem refutada.
Em 1997, J. Daniel Christiansen (MIT) e Mark Tilford (Caltech) aplicaram ideias
topológicas mais sofisticadas para criar uma técnica chamada “redução por estrelas binárias”,
que pode ser usada para simplificar a análise do jogo em certas circunstâncias. Suponha que,
em algum momento do jogo, cheguemos a uma posição (representada por um complexo
simplicial) na qual existam dois vértices x e y que formem uma estrela binária — o que
significa que preenchem estas três condições: