- O espaço g entre orifícios correspondentes dos lados esquerdo e direito.
Com a ajuda do teorema de Pitágoras (imagine o que esse grande homem teria pensado
desta aplicação em particular), não é muito difícil demonstrarmos que os comprimentos dos
cadarços na Figura 3.1 são os seguintes:
Qual o mais curto? Suponhamos, apenas para ilustrar a questão, que n = 8 (como na figura), d
= 1 e g = 2. A aritmética simples nos mostra que os comprimentos são os seguintes:
Neste caso, o método mais curto é o americano, seguido pelo europeu e, finalmente, pelo da
sapataria. Mas podemos ter certeza de que sempre será assim, ou isso dependerá dos números
n, d e g?
Utilizando cuidadosamente a álgebra do ensino médio, com as fórmulas apresentadas
acima, vemos que, se d e g forem diferentes de zero e n for no mínimo igual a três, o método
mais curto sempre será o americano, seguido pelo europeu, seguido pelo da sapataria. Se n = 2
e d e g forem diferentes de zero, então o método americano ainda será o mais curto, mas o
europeu e o da sapataria terão comprimento igual. Se n = 1 ou d = 0 ou g = 0, os três métodos
terão o mesmo comprimento, mas somente um matemático se preocuparia com casos assim!
No entanto, essa abordagem é complicada e não esclarece muito bem o que torna os
diferentes métodos mais ou menos eficazes.
Em vez de utilizar uma álgebra complicada, Halton observa que, usando um truque
geométrico inteligente, torna-se perfeitamente óbvio que o método americano é o mais curto
dos três. Com um pouco mais de trabalho e uma variação desse truque, também fica evidente
que o método da sapataria demanda um cadarço mais comprido. A ideia de Halton se inspira
na óptica, o estudo dos trajetos seguidos por feixes de luz. Os matemáticos descobriram há
tempos que muitas das características da geometria dos feixes de luz podem se tornar mais
transparentes — se é que convém usar esta palavra ao discutirmos a luz — quando aplicamos
projeções cuidadosamente escolhidas para endireitar um trajeto de luz refletido, simplificando
assim as comparações.
Por exemplo, para derivar a lei clássica da reflexão — “o ângulo de incidência é igual ao
ângulo de reflexão” — num espelho, considere um feixe de luz cujo trajeto é composto de dois
segmentos: o que atinge o espelho e o que é refletido. Se você projetar a segunda metade do
trajeto no espelho (Figura 3.2), o resultado será um trajeto que cruza a superfície, entrando no
mundo através do espelho de Alice. Segundo o princípio de Fermat (sim, Pierre Fermat,
aquele do “último teorema”), ou princípio do menor tempo, que constitui uma propriedade
geral dos raios luminosos, esse trajeto deve chegar ao seu destino no menor tempo possível —