superior esquerdo e, seguindo um dos métodos, desenhe o primeiro segmento do cadarço,
passando da esquerda para a direita do sapato, ou seja, da primeira à segunda fileira do
diagrama. Desenhe o seguinte segmento de cadarço refletido, de modo que passe da segunda
para a terceira fileira, em vez de voltar da segunda para a primeira, como num sapato de
verdade. Continue dessa maneira, refletindo a posição física de cada segmento sucessivo
sempre que encontrar um orifício. (Observe que, depois de duas reflexões como essa, o
segmento estará paralelo a sua posição original, só que duas fileiras abaixo, e assim por
diante.) De fato, as duas fileiras de orifícios são substituídas por espelhos. Portanto, em vez de
ziguezaguear entre as duas fileiras, o trajeto agora desce constantemente pela figura, uma
fileira por vez, enquanto seu movimento horizontal repete precisamente o movimento ao longo
das fileiras do sapato, segundo cada um dos métodos.
Como a reflexão de um segmento não altera seu comprimento, essa representação leva a
um trajeto de comprimento idêntico ao do método correspondente. Contudo, a representação
refletida tem a vantagem de facilitar a comparação entre os métodos americano e europeu. Em
poucos pontos os métodos coincidem, mas em todo o resto o padrão americano corre ao longo
de um dos lados (o lado maior) de um pequeno triângulo, sombreado na figura, enquanto o
europeu corre ao longo de dois lados do mesmo triângulo (os lados menores). Como o
comprimento somado de dois lados de um triângulo sempre excede o do terceiro lado (isto é,
uma linha reta sempre é o menor trajeto entre dois pontos), o método americano é obviamente
mais curto.
Porém, não parece tão óbvio que o método da sapataria utilize mais cadarço que o
europeu. Para demonstrarmos esse fato, o mais simples é eliminarmos todos os segmentos
verticais dos dois trajetos (que contribuem com o mesmo comprimento nos dois métodos, pois
ambos têm n – 1 segmentos verticais) e também quaisquer segmentos inclinados idênticos. O
resultado está ilustrado na Figura 3.4 (linhas grossas). Se projetarmos os trajetos, que têm a
forma de “Vs” deitados, segundo sua reflexão em eixos verticais colocados nas pontas dos Vs
(linhas finas), finalmente torna-se fácil percebermos que o trajeto da sapataria é mais longo,
novamente porque a soma de dois lados de um triângulo é mais comprida que o terceiro lado.
Para o problema do cadarço, essa perspicaz combinação de representações gráficas e
truques de reflexão não permite apenas compararmos métodos específicos de amarrar os
sapatos. Halton a utiliza para demonstrar que o método americano em ziguezague é o mais
curto dentre todos os possíveis: a prova está em seu artigo. Em termos mais gerais, tanto os
cadarços como a óptica de Fermat se unem na teoria matemática das geodésias — os menores
trajetos em diversas geometrias. Nesse caso, o truque da reflexão se mostra incrivelmente
eficaz, e o mundo através do espelho de Alice nos ajuda a esclarecer questões fundamentais da
física, além de confirmar a superioridade do método americano de amarrar os sapatos.
Figura 3.4
Eliminamos os segmentos em comum e refletimos o eixo vertical para mostrar que o método da sapataria
gasta mais cadarço que o método europeu.