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CORREIO
Diversos leitores me chamaram a atenção para um artigo fascinante escrito
por David Borwein (Universidade de Ontário Ocidental), Jonathan Borwein
e Pierre Maréchal e publicado na revista American Mathematical Monthly.
Esses autores definem uma medida de surpresa e se perguntam que
estratégia a professora deveria seguir para maximizá-la. Eles concluem
que o dia do teste deve ser escolhido ao acaso, de modo que a
probabilidade de escolha de cada dia específico da semana siga um
padrão preciso. (Eles permitem “semanas” de qualquer número inteiro de
dias.) A probabilidade permanece aproximadamente constante ao longo da
primeira parte da semana, mas aumenta rapidamente nos últimos dias, e o
último dia tem a maior probabilidade. Portanto, mesmo que você discorde
do que eu falei e pense que o teste não pode ser uma surpresa completa,
temos a possibilidade de dizer o quão surpresa ele será.
Veja bem, ainda não calculei de que modo varia o grau de surpresa se
os alunos lerem o artigo de Borwein, Borwein e Maréchal...
R.B. Burckel, da Universidade Estadual do Kansas, enviou uma solução
para o paradoxo de Richard. Lembre-se de que o paradoxo se refere à
frase “O menor número que não pode ser definido por uma frase em língua
portuguesa contendo menos de 20 palavras”. Qualquer que seja esse
número, a frase que o define usa uma frase em língua portuguesa
contendo apenas 1 palavras. Ainda assim, esse número aparentemente
deve existir: faça uma lista (necessariamente finita) de todas as orações
possíveis com 1 palavras ou menos, elimine aquelas que não definem um
único número e tome o menor dos números omitidos. Entretanto, esse
argumento tem certos problemas: a lista em si não é bem definida, como
observou Richard num artigo publicado na Acta Mathematica em 1906.
Para ilustrar algumas das armadilhas, a lista deve incluir as seguintes
orações (modifiquei aqui as sugestões de Burckel, e assumo a
responsabilidade pelo resultado):
O número citado na próxima frase, se ela citar um número, e zero,
se não citar.
Um mais o número citado na frase anterior.Cada frase por si só parece definir um número sem qualquer
ambiguidade, devendo portanto ser mantida na lista. Mas as duas,
tomadas em conjunto, são contraditórias. Observe que a ordem das frases
na lista faz diferença — e esse problema é só a ponta de um detestável
iceberg autorreferente. Como a lista não foi muito bem definida, a frase
paradoxal não define um único número, portanto isso se transforma num
caso de paradoxo perdido. E não podemos recuperar o paradoxo insistindo
na ideia de que as redes de frases autorreferentes sempre serão