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Como sardinhas redondas enlatadas
Obviamente podemos embalar 49 garrafas de leite, de diâmetro unitário num caixote
quadrado cujos lados medem sete unidades. Basta usarmos sete filas de sete. Mas
será que podemos embalar as mesmas garrafas num caixote menor, dispondo-as de
maneira diferente? Quer apostar?Quando estamos em meio a uma multidão num espaço pequeno, dizemos que estamos como
“sardinhas enlatadas”, e com razão. Os matemáticos gostam muito de situações como essa, mas
como as pessoas e os peixes têm formatos muito complicados, preferem trabalhar com
círculos. Qual é o tamanho, perguntam eles, do menor caixote no qual poderíamos colocar 49
garrafas de leite? Ou então, de modo equivalente, dado um quadrado de lado unitário, qual
seria o diâmetro do maior círculo tal que 49 cópias desse círculo possam ser embaladas
dentro do quadrado sem nenhuma sobreposição? Por sinal, para perceber que essas perguntas
são equivalentes, observe que, no primeiro caso, fixamos o tamanho dos círculos e variamos o
do quadrado, e no segundo fizemos o contrário. Portanto, independentemente da escala
escolhida, a solução de um problema resolve automaticamente o outro. Contanto, é claro, que
não ponhamos as garrafas de leite de cabeça para baixo ou de lado, e presumindo que o corte
transversal de uma garrafa de leite possa ser considerado um círculo perfeito, e o de um
caixote, um quadrado perfeito.
Questões como essa devem ser tão antigas quanto a própria matemática, mas praticamente
todas as informações que temos sobre elas datam de 1960 ou depois. A razão para isso é a
surpreendente sutileza contida na “geometria combinatória”, como é conhecida essa área. As
respostas não são nem um pouco óbvias, e é difícil encontrar suas provas. Por exemplo, é
bastante óbvio que o menor caixote quadrado dentro do qual podemos embalar 49 garrafas de
leite de diâmetro unitário tem sete unidades: basta dispormos as garrafas num arranjo
quadrado (Figura 5.1.a).