Por mais óbvia que pareça essa solução — como tantas outras ideias supostamente óbvias
—, ela é falsa. Em 1997, K.J. Nurmela e P.R.J. Östergård encontraram uma maneira de inserir
49 círculos dentro de um quadrado ligeiramente menor (Figura 5.1.b). A diferença de tamanho,
de tão pequena, é invisível a olho nu. Esse arranjo invalidou uma conjectura de G. Wengerodt,
que já havia demonstrado que o óbvio arranjo quadrado era ideal para 1, 4, 9, 16, 25 e 36
círculos, mas não para 64, 81 ou qualquer número quadrado maior. Wengerodt deixou em
aberto o caso dos 49 círculos, mas supôs — erroneamente, como se descobriu há pouco — que
o arranjo quadrado ainda seria o mais denso.
Figura 5.1
(a) A maneira óbvia de encaixotar 49 círculos dentro de um quadrado.
(b) Se, no entanto, eles foram encaixotados assim, o quadrado se torna (sutilmente) menor.Você talvez esteja se perguntando por que o arranjo quadrado não é o mais denso em
qualquer caixote quadrado, por maior que seja. Adotando o ponto de vista correto, torna-se
fácil perceber que o arranjo quadrado, em caixotes suficientemente grandes, deixa de ser o
mais eficiente. Você precisa saber (isto é fácil de verificar) que no plano infinito existe um
arranjo mais denso que a distribuição quadrada — o arranjo hexagonal, como a disposição das
bolas no início de um jogo de bilhar, só que estendida infinitamente.
Um caixote de tamanho finito tem uma margem quadrada que impede a formação da
distribuição hexagonal perfeita, e é por isso que os arranjos quadrados são mais densos
quando temos um pequeno número de círculos. Porém, quando o número de círculos é
suficientemente grande, o efeito da margem se torna muito pequeno, o que permite que
embalemos uma maior quantidade de círculos usando disposições mais próximas à hexagonal,
em vez de utilizarmos o arranjo quadrado. Foi assim que Wengerodt provou que o arranjo
quadrado não era o mais efetivo para números maiores ou iguais a 64. O caso dos 49 círculos,
porém, é bastante delicado, e por isso precisamos de um certo tempo para encontrar a resposta
correta.
Tive a ideia de escrever sobre estes assuntos ao receber uma cópia de Packing and
Covering with Circles, tese de doutorado escrita por Hans Melissen e defendida na
Universidade de Utrecht em dezembro de 1997. Trata-se, de longe, da melhor e mais completa
análise dessas questões que já li, e contém muitos arranjos e provas novos, além de uma lista
de referências bastante abrangente. Podemos fazer perguntas semelhantes sobre regiões de
diversas formas distintas (círculos, retângulos, triângulos), com muitas aplicações possíveis
— de embalagens industriais à física dos elétrons. No entanto, o verdadeiro encanto deste
tema está em sua matemática elegante.
O problema da embalagem de círculos iguais num quadrado, maximizando o tamanho dos
círculos em relação ao lado do quadrado, não parece ter sido discutido na bibliografia até