1960, quando Leo Moser conjecturou uma solução para oito círculos. Sua conjectura foi
verificada pouco depois e levou a uma série de publicações sobre o mesmo tema, com
diferentes números de círculos. Em 1965, J. Schaer, um dos matemáticos que provaram a
conjectura de Moser, publicou soluções para até nove círculos. Ele observou que as
embalagens ideais para até cinco círculos são fáceis, e atribuiu a Ron Graham (que atualmente
trabalha na Bell Labs) a solução para seis círculos.
O problema costuma ser ligeiramente reformulado, de modo a desconsiderar os círculos
em si. Se dois círculos iguais se tocam, seus centros estão separados por uma distância igual
ao seu diâmetro comum. E se um círculo toca uma margem reta, seu centro se situa numa linha
paralela à margem, separada dela por uma distância igual ao raio do círculo. Portanto, a minha
pergunta sobre os círculos pode ser reformulada da seguinte maneira: “Coloque 49 pontos num
quadrado dado, de modo a maximizar a separação mínima entre quaisquer dois pontos.” Os
pontos correspondem aos centros dos círculos; o quadrado não é o original, e sim um quadrado
menor, cujos lados foram movidos para dentro por uma distância igual ao raio do círculo. A
vantagem da formulação com “pontos” é sua simplicidade conceitual. Nessa formulação, o
estado atual da brincadeira para até 20 círculos está resumido na Figura 5.2. Já foi provado
que todos esses arranjos apresentados são os ideais. Para 17 pontos, existem dois arranjos
distintos. Alguns deles, como os de 13, 17 e 19 pontos, utilizam pontos “livres”, cuja posição
não é completamente fixa, podendo variar dentro de certos limites (pequenos).
Numa variante mais complicada, o desafio é embalar círculos (ou, mais uma vez, pontos
equivalentes) dentro de um círculo. A mais antiga publicação sobre esse tema é a tese de
doutorado de B.L.J. Braaksma, publicada em 1963, que trata de uma questão técnica em
análise. Entre as minúcias técnicas, o autor conjectura um arranjo ideal para oito pontos. (É
curioso que, em ambos os problemas, o caso dos oito pontos tenha sido o primeiro a atrair
alguma atenção mais séria.) Posteriormente, ele encontrou uma prova de que seu arranjo é o
ideal, mas jamais a publicou. Nessa formulação, conhecem-se as soluções para 11 pontos ou
menos. Já foram conjecturados arranjos ideais para 12 a 20 pontos, mas ainda não existem
provas (ver Figura 5.3). Mais uma vez existem arranjos alternativos em diversos casos (6, 11,
13, 18 e 20). Para seis pontos, as soluções são (a) cinco pontos na margem, com alguma
liberdade de movimento, com um ponto no centro, e (b) um hexágono perfeito. A solução
conjecturada para 19 pontos é especialmente elegante e simétrica.