Figura 5.3
Arranjos de pontos em um círculo para maximizar a separação mínima.Os arranjos dentro de um triângulo equilátero são especialmente interessantes, porque uma
margem com essa forma se relaciona harmoniosamente com a disposição hexagonal — o que
qualquer jogador de bilhar já sabe. O triângulo de plástico ou madeira que usamos para dispor
as bolas no começo do jogo é um triângulo equilátero, e as bolas se organizam dentro dele
numa disposição hexagonal. De fato, os primeiros estudos desses arranjos utilizavam somente
círculos (ou pontos equivalentes, como sempre) em número triangular: 1, 3, 6, 10, 15 e assim
por diante. Esses números têm a forma 1 + 2 + 3 + ... + n, e nesses casos os círculos podem
ser dispostos como parte de um arranjo hexagonal perfeito. Sabe-se que esse arranjo é o ideal
num plano infinito, um fato amplamente presumido, mas que só foi provado em 1892 por Axel
Thue. Portanto, é bastante plausível que o arranjo ideal de um número triangular de pontos
dentro de um triângulo equilátero seja a óbvia disposição das bolas de bilhar. Esse fato é
verdadeiro, embora seja difícil de provar: Melissen apresentou uma prova particularmente
elegante. Ele também encontrou (e provou) arranjos ideais para 12 pontos ou menos, e
conjecturas para 16, 17, 18, 19 e 20 pontos (Figura 5.4).
Todo esse tema traz a beleza da originalidade, que é muito cativante, mas também nos
mostra que certos problemas aparentemente simples podem ser enganadores. Não se trata de
um tema fácil para um matemático “sério”. Na verdade, é mais adequado ao matemático
recreativo, que vê inúmeros desafios fascinantes: provar algumas das conjecturas, aperfeiçoá-
las (refutando-as assim), estender soluções conjecturadas ou provadas a um número maior de
pontos... O formato do domínio também pode ser modificado: existem alguns resultados
conhecidos para retângulos e para triângulos retângulos isósceles, por exemplo. Trabalhar com
hexágonos deve ser divertido.