Figura 5.5
Arranjos de pontos em um hemisfério (visto de cima) para maximizar a separação mínima.Eu mencionei possíveis aplicações físicas. Em 1985, A.A. Berezin publicou uma breve
nota na revista Nature sobre configurações de energia mínima de partículas idênticas
eletricamente carregadas dentro de um disco. Isso tem o mesmo teor matemático que a
embalagem de círculos, porque as partículas repelem umas às outras, o que é bem parecido a
tentarmos maximizar sua separação mínima. Entretanto, essa analogia não deve ser feita de
maneira muito literal, porque o que realmente interessa aqui é o equilíbrio energético, e não a
separação em si. O que o sistema minimiza de fato é a energia total. De qualquer forma, a
intuição preponderante era a de que as cargas se repeliriam até atingirem a margem do disco,
uma conclusão geralmente justificada por um resultado conhecido como o teorema de
Earnshaw. Esse teorema afirma que nenhum corpo carregado pode estar em equilíbrio somente
sob forças eletrostáticas, de modo que o equilíbrio requer a imposição de condições na
margem do corpo. Os cálculos numéricos de Berezin, no entanto, mostravam que, entre 12 e
400 cargas eletrostáticas, a distribuição com uma delas no centro e o restante na margem tinha
menos energia que quando todas elas estavam na margem.
A discrepância entre a intuição física e as computações de Berezin foi finalmente resolvida
em favor da física — embora não houvesse nada de errado com a observação de Berezin. O
fato é que o universo físico real não contém discos infinitamente finos. Das duas uma: ou o
modelo matemático representa um corte transversal bidimensional de cargas lineares paralelas
dentro de um cilindro, ou então o disco terá alguma espessura, ainda que pequena. No primeiro
caso, a energia correta difere da computada por Berezin (deve se basear numa lei de força
logarítmica, e não quadrática inversa). No segundo caso, o ponto central de fato migrará
minimamente para fora do centro verdadeiro do disco, até chegar à margem mais próxima!
Dessa maneira, a matemática e a intuição se reconciliaram. Ainda assim, o problema
continua sendo muito interessante; por exemplo, Melissen apresentou a primeira prova