sequência de jogadas, exatamente nas mesmas posições, for repetida três vezes seguidas. (Não
confunda isso com a regra tradicional de que se a mesma posição ocorrer por três vezes, o
jogador que se deparar com ela poderá pedir o empate. Mas note que esta lei não obriga o
jogador a fazê-lo.) Pode ser uma sequência curta ou longa: a regra proposta teve o cuidado de
não especificar a extensão.
Assim, se ocorrer qualquer violação dessa lei das “três jogadas seguidas”, um jogador
poderá solicitar o término do jogo. A questão é: existem jogos sem propósito que não a
violam? É nesse momento que o modo matemático de enxergar o mundo encontra uma pergunta
interessante. Um jogo de xadrez poderia continuar para sempre, sem que haja um xeque-mate e
sem repetir a mesma sequência de movimentos três vezes seguidas? (Um jogo que continue
para sempre certamente se trata de um jogo sem propósito.)
O xadrez é um tanto complicado, portanto qualquer matemático que se preze tentará
simplificá-lo. Suponha que decidimos nos concentrar apenas em duas jogadas possíveis,
representadas pelos símbolos binários 0 e 1. Uma sequência de 0s e 1s poderia continuar para
sempre sem que nenhum bloco finito se repita três vezes seguidas?
De fato, existem muitas maneiras possíveis de gerarmos essa sequência, que chamarei de
sequência não tripla. A primeira delas foi inventada por Marston Morse e Gustav Hedlund,
enquanto investigavam um problema de dinâmica. Comecemos com um único 0. Depois dele
deverá vir a sequência complementar (cada 0 transformado num 1 e vice-versa), que neste
caso é apenas um 1, portanto ficamos com 01. Esta sequência deve então ser sucedida por sua
sequência complementar, e assim por diante, formando uma sequência infinita como esta:
0
01
0110
01101001
0110100110010110e o processo continua indefinidamente. Para facilitar, escrevi as sequências complementares
em negrito.
Essa é genuinamente uma sequência não tripla, mas é difícil encontrarmos uma prova dessa
propriedade. Temos uma outra sequência como essa, porém mais explícita, cuja prova é mais
fácil de encontrar. Para descrevê-la, precisamos de alguma terminologia. Lembre-se que
qualquer número par é múltiplo de 2, enquanto qualquer número ímpar situa-se uma unidade
acima de um múltiplo de 2; posto de maneira mais simples, os números pares têm a forma 2m,
e os números ímpares têm a forma 2m + 1.
Precisamos de uma terminologia semelhante para múltiplos de três. Digamos que um
número é
contralto se for múltiplo de 3 (ou seja, se tiver a forma 3m);
soprano se estiver uma unidade acima de um múltiplo de 3 (ou seja, se tiver a forma 3m + 1);
barítono se estiver uma unidade abaixo de um múltiplo de 3 (ou seja, se tiver a forma 3m – 1).Portanto, todo número inteiro, segundo a nossa terminologia, é contralto, soprano ou
barítono. Se um número for soprano (igual a 3m + 1, para algum m), digamos então que m é seu
precursor. Por exemplo, 16 = 3 × 5 + 1 é soprano, e seu precursor é 5, que é barítono.
Usando essa terminologia, podemos escrever uma receita para uma sequência que jamais
repita um bloco três vezes seguidas: