Existem conexões entre os mapa Terra/Lua e os mapas de m-périos. De fato, podemos
entender o mapa Terra/Lua como um tipo particular de 2-pério, com uma geometria implícita
ligeiramente curiosa (duas esferas) que divide todos os 2-périos em duas partes. Seu grafo, na
verdade, é formado por dois grafos planares desconectados — a Figura 9.3.a exemplifica um
dos arranjos possíveis. (O formato arredondado não tem nada a ver com a Terra ou com a Lua:
lembre-se que qualquer grafo numa esfera, ou em várias esferas, pode ser deformado e
apoiado num plano. É apenas mais fácil mostrar aqui a estrutura do grafo usando arestas
curvas.)
Figura 9.3
(a) Grafos para territórios terrestres e lunares de um conjunto de oito impérios.
(b) Identificação de vértices correspondentes para criar o grafo do 2-pério correspondente.Suponha agora que pensemos neste grafo Terra/Lua como o grafo de um 2-pério, de modo
que os vértices que pertencem ao mesmo império sejam identificados entre si, gerando a
Figura 9.3.b. Podemos ver que o grafo resultante não mais será necessariamente planar. De
fato, este aqui não é.
Porém, o grafo é “quase planar”. O modo como é construído mostra que podemos separar
suas bordas em dois subgrupos, e cada um deles forma um grafo planar no conjunto original de
vértices. Neste caso, os dois subgrupos são as arestas das Figuras 9.3.a e 9.3.b.
Dizemos que esse grafo tem espessura 2. Em geral, um grafo tem espessura e se pudermos
separar suas arestas em e subconjuntos, e não menos, de modo que cada subconjunto forme um
grafo planar. Ocorre que todos os grafos de mapas são planares, mesmo quando seus mapas
correspondentes se situam em esferas. Um mapa Terra/Lua é formado por dois mapas planares
separados: um na Lua, o outro na Terra. Cada império é representado exatamente uma vez em
cada um desses mapas. Portanto, todos os grafos Terra/Lua têm espessura 2; um pedaço planar
na Terra, o outro na Lua. A recíproca também é verdadeira: todos os grafos de espessura 2
correspondem a um mapa Terra/Lua (embora seus territórios talvez não cubram completamente
os dois mundos: pode haver regiões que não pertençam a nenhum dos impérios).
Como o grafo Terra/Lua é um tipo especial de grafo de um 2-pério, o teorema de Heawood
determina que 12 cores são suficientes para qualquer grafo Terra/Lua. Contudo, não podemos
concluir diretamente que 12 cores também serão necessárias. Isso ocorre porque nem todos os
2-périos correspondem a mapas Terra/Lua. No mapa Terra/Lua, cada império tem uma região
na Lua e uma na Terra. Se pensarmos nisso como um 2-pério, então as regiões formam duas
“ilhas” separadas, e existe exatamente uma região de cada império em cada ilha. Por outro
lado, um 2-pério é formado por uma certa quantidade de pares de regiões, que não precisam
estar dispostas de modo a formar duas ilhas — e mesmo que estejam, alguns impérios podem
ter seus dois territórios na mesma ilha.
Na verdade, nenhum dos grafos de 2-périos conhecidos que realmente precisam de 12
cores pode ser transformado num mapa Terra/Lua. Portanto, é possível que menos de 12 cores
possam sempre ser suficientes para grafos Terra/Lua.