Por exemplo, o grafos completos K 9 , K 10 , K 11 e K 12 são todos grafos de 2-périos, maspossuem espessura 3, portanto não podem ser grafos Terra/Lua (porque estes possuem
espessura 2). De fato, a espessura de Kn é 3 se n = 9 ou 10; caso contrário, é o maior inteiro
que não exceda (também chamado de “piso” de) (n + 7)/6.
A Figura 9.3b, na verdade, representa o grafo completo K 8 , portanto K 8 tem espessura 2.Isso significa que K 8 pode ser representado como um grafo Terra/Lua, o que prova que, no
problema Terra/Lua, são necessárias no mínimo 8 cores. Rolf Sulanke (Universidade
Humboldt de Berlim) aumentou esse limite inferior para 9 ao mostrar que o grafo da Figura 9.4
tem espessura 2 e número cromático 9.
Figura 9.4
Grafo de Sulanke de espessura 2, que requer cores.O conceito de espessura, portanto, é a ideia matemática profunda por trás do enigma
recreativo dos mapas Terra/Lua. Você talvez queira pensar em mapas Terra/Lua/Marte, nos
quais cada imperador tenha três territórios, um em cada mundo. Esses mapas são tipos
particulares de mapas de 3-périos, e seu grafo correspondente tem espessura 3. Em geral, um
grafo de espessura e pode ser entendido como o grafo do e-pério de um sistema de impérios
galácticos numa coleção de e planetas.
Os problemas que envolvem a coloração de mapas podem ser muito divertidos — mas é
difícil encontrar um significado prático evidente para eles. Mesmo que tivéssemos impérios
planetários, os geógrafos sempre poderiam colorir seus mapas por tentativa e erro — e, em
todo caso, talvez não queiram seguir a nossa regra de coloração. No próximo capítulo,
veremos que existem aplicações para o conceito de espessura; entretanto, não são traduções
literais da imagem do “mapa”. Em vez disso, aplicam-se ao teste de circuitos eletrônicos.
A matemática é abstrata e geral: a mesma ideia tem muitas concretizações. Algumas são
mais divertidas que outras — e algumas são mais práticas que outras.