volta no tempo”. Se a primeira repetição não fosse na posição original, poderíamos voltar uma
etapa atrás até encontrarmos uma repetição anterior. Pelo mesmo motivo, um ciclo não pode
“cair” em outro ciclo. Portanto, cada carta executa exatamente um ciclo.
Após conhecermos os ciclos, existe uma maneira simples de descobrirmos quantas etapas
são necessárias para que o baralho inteiro “ressuscite”, voltando à ordem original. Os ciclos
possuem diversas extensões, e as cartas de cada um deles repetem suas posições após um
número de etapas igual à extensão do ciclo. Suponha, a título de discussão, que os ciclos
possuam extensões 3, 5 e 7. O primeiro ciclo se repete sempre que o número de etapas for
divisível por 3. O segundo se repete sempre que o número for divisível por 5. O terceiro,
sempre que for divisível por 7. Portanto, para que todos os ciclos se repitam, o número de
etapas deve ser divisível por 3, 5 e 7. O menor número divisível pelos três divisores é 3 × 5 ×
7 = 105, obtido pela multiplicação das extensões dos ciclos.
Essa regra se mantém independentemente da quantidade de ciclos — isto é, qualquer que
seja o número de cartas, desde que finito. Às vezes, uma repetição ocorre antes — por
exemplo, tomemos o baralho de 8 cartas. Nele, os ciclos possuem extensões 2 e 6, mas a
ordem das cartas se repete após seis etapas. Também se repetirá após 2 × 6 = 12 etapas, mas
esse não é o menor número necessário. Generalizando, podemos encontrar o menor número de
etapas necessário para a repetição determinando o mínimo múltiplo comum das extensões dos
ciclos; ou seja, o menor número divisível por todas elas. Todas as cartas voltarão às suas
posições originais após esse número de etapas.
Por exemplo, suponha que os ciclos tenham extensões 10 e 14. As cartas do ciclo de
extensão 10 voltarão às suas posições originais nas etapas 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 e assim
por diante. Já as cartas do ciclo de extensão 14 voltarão às suas posições originais nas etapas
14, 28, 42, 56, 70 e assim por diante. O primeiro número comum a ambos os conjuntos — o
mínimo múltiplo comum de 10 e 14 — é 70. Assim, na 70a etapa todas as cartas voltam aos
seus lugares originais.
Dessa forma, quando embaralhamos as cartas para dentro, elas sempre se repetirão, por
maior que seja o baralho. No entanto, o número de vezes necessário para que surja a repetição
não segue um padrão óbvio — o fato de que um baralho de 10 cartas demore dez etapas para
se repetir, um número igual ao tamanho do baralho, não é típico. Por exemplo, baralhos de 4,
6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 e 24 cartas precisam ser embaralhados 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18,
6, 11 e 20 vezes, respectivamente, para retornar à ordem original.
Embora não exista um padrão óbvio, ainda assim existe um padrão. Mas você precisa
estudar teoria dos números para vislumbrá-lo! Funciona da seguinte maneira. Vejamos o caso
das 8 cartas. Acrescentemos uma unidade ao tamanho do baralho, de modo a ficarmos com 9.
A seguir, vamos formar potências sucessivas de 2, dividi-las por nove e encontrar os restos:
O resto é igual a 1 para a sexta potência — e o número de etapas necessário para
“ressuscitar” um baralho de 8 cartas é igual a 6. Da mesma forma, quando temos 10 cartas,
acrescentamos uma, ficando com 11, e observamos os restos na divisão das potências de 2 por
11: